Aceleración de la gravedad dentro de cáscaras y esferas

Hasta ahora hemos aprendido cómo calcular el campo gravitatorio generado por cuerpos macizos, ¿verdad? Pero, ¿y si tuviéramos sólo una cáscara de masa? ¿Cómo actuaría en la creación de un campo gravitatorio?

Vamos a analizar dos casos: el del campo gravitatorio dentro y fuera de una cáscara esférica, es decir, para \[r<R\] y \[r>R\], respectivamente.

Campo gravitatorio dentro de la cáscara esférica \[(r<R)\]

Primero vamos a considerar el punto \[O\] como centro de la cáscara esférica.

Vamos a trazar los campos generados por algunos “pedacitos” de la misma masa (son los puntitos verdes esparcidos simétricamente en la superficie de la cáscara) en su centro.

¿Ves? Todos los campos tienen el mismo módulo y están dispuestos de forma que el campo resultante en el centro sea nulo:

\[g_{O}=0\]

¡La simetría esférica de la cáscara nos garantiza que esto ocurrirá cuando consideremos todos los puntitos de la superficie! Es decir, cuando \[r<R\, siempre tendremos:

\[g=0\]

Campo gravitatorio fuera de la cáscara esférica \[(r>R)\]

Así como en la esfera maciza, la cáscara esférica nos permite hacer la acumulación de la masa en el centro de la cáscara, así que,cuando \[r>R\] , tendremos:

\[g=\frac{G M}{r^{2}}\]

Donde \(M\) está la masa total de la cáscara 

Tampoco hemos calculado el campo gravitatorio dentro de una esfera maciza. Ahora podemos verlo, ¿sabes? ¡Oh, vamos! 

Campo gravitatorio dentro de una esfera maciza \[(r<R)\]

Cuando queremos calcular el campo con \[(r<R)\], solo consideramos la masa que está dentro de esa esfera de radio \[r\]. Llamemos a esta masa \[m\]

Como la esfera es homogénea, podemos garantizar que:

\[\frac{m}{\frac{4 \pi r^{3}}{3}}=\frac{M}{\frac{4 \pi R^{3}}{3}} \rightarrow \frac{m}{r^{3}}=\frac{M}{R^{3}}\]

Por lo tanto,el campo es:

\[g=\frac{G m}{r^{2}}\]

Sustituyendo el valor de \[m\]

\[g=\frac{G M}{R^{3}} r\]

Entonces, podemos resumir todo con dos gráficos:

¿Buenísimo? ¡Practiquemos!