Fuerza y Campo Gravitatorio con Integrales

Hasta ahora hemos visto ejemplos y ejercicios de cuerpos con simetría esférica sobre el efecto de la fuerza gravitatoria.

Sin embargo, varias distribuciones continuas de masa son capaces de crear también un campo gravitatorio y tu, querido alumno, serás capaz de descubrir la expresión que rige las fuerzas generadas por este campo.

Para entender mejor la manera de las cosas, nada mejor que un pequeño ejemplo.

Ejemplo

Imaginemos una línea de masas,de masa total \[M\] y tamaño \[L\]. Encontraremos la expresión para el campo gravitatorio a una distancia perpendicular \[d\] del centro de la línea de masas.

En primer lugar, vamos a dibujar el problema, colocando la barra en un par de ejes adecuado.

Cada pedacito de la barra con masa \[d m\] producirá un campo gravitatorio \[d g\] . El campo total será dado por la suma de todos esos \[d g\]’s, es decir, la integral

\[\vec{g}=\int d \vec{g}=\int \frac{G}{r^{2}} d m \hat{r}\]

Este \[\hat{r}\] es el unitario (que tiene módulo igual a 1 ) que apunta en la dirección del campo. Esa integral se vuelve más fácil si la descomponemos en sus componentes \[x\] y \[y\]

\[\hat{r}=\operatorname{sen}(\theta) \hat{i}-\cos (\theta) \hat{j}\]

Así nuestra integral se divide en dos

\[\vec{g}=\int \frac{G}{r^{2}} d m \hat{r}=\int \frac{G}{r^{2}} d m \operatorname{sen}(\theta) \hat{i}+\int \frac{G}{r^{2}} d m(-\cos (\theta) \hat{j})\]

Está bien...¿cómo haces esa integral de ahí? ¿Cómo se integra en masa?¿Ves que nuestra barra está sobre el eje \[x\]? ¡Sería bueno poder integrarla en \[x\] porque daría para relacionar \[x\] con ángulos \[\theta\] también! Eso se hace de la siguiente manera:

Nuestro pequeño pedazo de masa \[d m\] tiene una longitud \[d x\],ya que es infinitesimal. Podemos relacionar masa y longitud por la densidad lineal de masa (ya que nuestra barra es un objeto 1D)

\[\frac{d m}{d x}=\rho\]

Como la barra es homogénea, podemos encontrar esta densidad lineal:

\[\rho=\frac{M}{L}\]

Y luego,encontrar la relación de \[d m\] con \[d x\]:

\[\frac{d m}{d x}=\rho \rightarrow \frac{d m}{d x}=\frac{M}{L}\]

\[d m=\frac{M}{L} d x\]

Así que ahora que hemos hecho un cambio de variables, nuestra integral queda así:

\[\vec{g}=\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{G}{r^{2}} \frac{M}{L} d x \operatorname{sen}(\theta) \hat{i}+\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{G}{r^{2}} \frac{M}{L} d x(-\cos (\theta) \hat{j})\]

Los límites de integración son \[-L / 2\] y \[L / 2\] porque es donde la barra comienza y dónde termina. Sacando de la integral todo lo que es constante nos quedamos con:

\[\vec{g}=\frac{G M}{L}\left[\left(\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{1}{r^{2}} d x \operatorname{sen}(\theta)\right) \hat{i}-\left(\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{1}{r^{2}} d x \cos (\theta)\right) \hat{j}\right]\]

¡Ahora tenemos que dejar todo en función de \[x\] ! Mirando de nuevo la imagen, tenemos un triángulo rectángulo más fácil aquí

De ese triángulo podemos concluir que:

\[r^{2}=d^{2}+x^{2}\]

\[\cos (\theta)=\frac{d}{r}=\frac{d}{\sqrt{x^{2}+d^{2}}}\]

\[\operatorname{sen}(\theta)=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+d^{2}}}\]

Sustituyendo en nuestro campo:

\[\vec{g}=\frac{G M}{L}\left[\left(\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{1}{\left(x^{2}+d^{2}\right)} d x \frac{x}{\sqrt{x^{2}+d^{2}}}\right) \hat{i}-\left(\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{1}{\left(x^{2}+d^{2}\right)} d x \frac{d}{\sqrt{x^{2}+d^{2}}}\right) \hat{j}\right]\]

\[\vec{g}=\frac{G M}{L}\left[\left(\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{x d x}{\left(x^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}\right) \hat{i}-\left(\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{d d x}{\left(x^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}\right) \hat{j}\right]\]

Ahora ... ¡Ahora no hay ningún lugar para correr! ¡Tenemos que lidiar con estas bellezas allí! ¡Pero no está mal! ¡A veces estas integrales están en tu examen!

La primera integral es

\[\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{x d x}{\left(x^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}\]

Arriba tenemos una función impar (\[x\]) y abajo una función par (\[\left(x^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}\]) ¡luego estamos integrando una función impar en un intervalo simétrico! La integral de esto da \(0\)

\[\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{x d x}{\left(x^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}=0\]

¡Entonces nuestro campo gravitatorio no tiene componente en la dirección \[x\]! Otra forma de verlo es por la simetría del problema, échale un vistazo:

Vamos a tomar dos piezas de la barra, simétricas al eje \[y\]. Cada una de estas piezas ejercerá un campo \[d \vec{g}\] según la imagen. Como estos campos son magnitudes vectoriales sólo hay que sumarlas

¡Así el campo resultante va a estar en la dirección vertical porque los componentes horizontales se cancelan! ¡Entonces desde el principio podrías ya haber ignorado el componente horizontal del campo! Sólo no dije antes porque no quería dar spoiler :P

¡Siempre es bueno prestar atención a la simetría del problema! ¡Esto puede ahorrarnos una eternidad!

Ahora vamos a pasar a la segunda integral: 

\[\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{d d x}{\left(x^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}\]

Ahora el integrando es par, así que esa integral es diferente a \[0\]. ¡Para lidiar con ella tenemos que usar todo nuestro poder de integrales! ¡Ésta sale por reemplazo de trigonometría!

Lo hacemos así:

\[\operatorname{tg} \phi=\frac{x}{d} \rightarrow x=d \operatorname{tg} \phi\]

Y nuestra \[d x\]

\[d x=d(t g \phi)^{\prime} d \phi=d\left(\frac{\cos ^{2} \phi+\operatorname{sen}^{2} \phi}{\cos ^{2} \phi}\right) d \phi=d\left(1+\operatorname{tg}^{2} \phi\right) d \phi\]

Y los límites de la integración

\[x=-\frac{L}{2} \rightarrow \phi=\arctan \left(-\frac{L}{2 d}\right)=\phi_{\min }\]

\[x=\frac{L}{2} \rightarrow \phi=\arctan \left(\frac{L}{2 d}\right)=\phi_{\max }\]

Entonces:

\[\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{d d x}{\left(x^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}=d \int_{\phi_{\min }}^{\phi_{\max }} \frac{d\left(1+t g^{2} \phi\right) d \phi}{\left((d \operatorname{tg} \phi)^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}\]

Podemos trabajar primero en el denominador

\[\left((d \operatorname{tg} \phi)^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}=\left(d^{2} \operatorname{tg}^{2} \phi+d^{2}\right)^{3 / 2}=\left[d^{2}\left(\operatorname{tg}^{2} \phi+1\right)\right]^{3 / 2}=d^{3}\left(1+\operatorname{tg}^{2} \phi\right)^{3 / 2}\]

Así que

\[\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{d d x}{\left(x^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}=d \int_{\phi_{\min }}^{\phi_{\max }} \frac{d\left(1+\operatorname{tg}^{2} \phi\right) d \phi}{d^{3}\left(1+\operatorname{tg}^{2} \phi\right)^{3 / 2}}=\frac{1}{d} \int_{\phi_{\operatorname{man}}}^{\phi_{\max }} \frac{d \phi}{\left(1+\operatorname{tg}^{2} \phi\right)^{1 / 2}}\]

Ahora sólo hay que usar las relaciones trigonométricas

\[1+\operatorname{tg}^{2}(\phi)=1+\frac{\operatorname{sen}^{2}(\phi)}{\cos ^{2} \phi}=\frac{\cos ^{2} \phi+\operatorname{sen}^{2} \phi}{\cos ^{2} \phi}=\frac{1}{\cos ^{2} \phi}\]

Entonces nuestra integral quedará así

\[\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{d d x}{\left(x^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{1}{d} \int_{\phi_{\min }}^{\phi_{\max }} \frac{d \phi}{\left(\frac{1}{\cos ^{2} \phi}\right)^{1 / 2}}=\frac{1}{d} \int_{\phi_{\min }}^{\phi_{\max }} \cos (\phi) d \phi\]

\[\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{d d x}{\left(x^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{1}{d}\left(\operatorname{sen}\left(\phi_{\max }\right)-\operatorname{sen}\left(\phi_{\min }\right)\right)\]

Si \[\tan \left(\phi_{\max }\right)=L /(2 d)\], entonces podremos encontrar el seno a través del siguiente triángulo rectángulo

Entonces

\[\operatorname{sen}\left(\phi_{\max }\right)=\frac{L}{\sqrt{L^{2}+4 d^{2}}}\]

Y

\[\operatorname{sen}\left(\phi_{\min }\right)=\operatorname{sen}\left(\arctan \left(-\frac{L}{2 d}\right)\right)=-\operatorname{sen}\left(\arctan \left(\frac{L}{2 d}\right)\right)=-\operatorname{sen}\left(\phi_{\max }\right)\]

\[\operatorname{sen}\left(\phi_{\min }\right)=-\frac{L}{\sqrt{L^{2}+4 d^{2}}}\]

Finalmente

\[\int_{-L / 2}^{L / 2} \frac{d d x}{\left(x^{2}+d^{2}\right)^{3 / 2}}=\frac{1}{d}\left(\frac{L}{\sqrt{L^{2}+4 d^{2}}}-\left(-\frac{L}{\sqrt{L^{2}+4 d^{2}}}\right)\right)=\frac{2 L}{d \sqrt{L^{2}+4 d^{2}}}\]

Y nuestro campo estará dado por

\[\vec{g}=\frac{G M}{L}\left(-\frac{2 L}{d \sqrt{L^{2}+4 d^{2}}}\right) \hat{j}\]

\[\vec{g}=-\frac{2 G M}{d \sqrt{L^{2}+4 d^{2}}} \hat{j}\]

Un resumen de todo esto:

Paso 1: Escribir \[\vec{g}\] como una integral de \[d m\] y separar en sus componentes

\[\vec{g}=\int \frac{G}{r^{2}} d m \hat{r}=(\ldots) \hat{i}+(\ldots) \hat{j}\]

Paso 2: Analizar la simetría del problema y ver si algún componente es nulo

Paso 3: Escribir la \[d m\] en función de algo que se pueda integrar. En nuestro ejemplo

\[d m=\rho d x\]

Paso 4: Fijar los límites de integración, encontrar relaciones para escribir todo en función a los datos del problema y de la variable de integración.

Paso 5: Enfrentar a la integral (¡echa un vistazo al examen antes!).

Un poco trabajoso, ¿no? Pero con la práctica vas a dominarlo, ya que son pocas distribuciones continuas que son posibles de hacer por este método. ¡Practiquemos para que seas bueno en esto!