Túnel a través del planeta

Vamos a hacer un viaje ahora, ¿de acuerdo? Pero ten la seguridad de que todo saldrá bien. ¡Ven conmigo!

Imagina que un loco cava un túnel que atraviesa un planeta. ¿Cómo actuaría la fuerza gravitatoria sobre algo que pasara dentro de ese túnel?

Veamos, primero, haciendo un dibujo:

Bueno, aprendemos que, en una esfera maciza, cuando queremos calcular la fuerza gravitatoria cuando \[r<R\], tenemos que acumular la masa de la esfera que dista \[r\] del centro y calcular la fuerza generada por ella, ¿verdad? Hay un tema que explica eso antes de este, ¿que tal si le echas un vistazo?

Si hacemos eso ahora, podemos entender porqué la fuerza es horizontal, ya que simplemente apunta al centro del planeta.

Entonces, la fuerza \[\vec{F}\] , como se muestra en el dibujo, considerando que el objeto tiene masa \[m\], es dada por:

\[\vec{F}=-\frac{G M m}{R^{3}} r \hat{i}\]

Sin embargo, podemos mejorar eso, porque de acuerdo con nuestro diseño anterior:

\[\vec{x}=r \hat{i}\]

Sustituyendo

\[\vec{F}=-\frac{G M m}{R^{3}} \vec{x}\]

Lo que tiene sentido, ya que, cuando \[x\] sea negativa, la fuerza invertirá su sentido.

¡Uy! Si no recuerdo mal, este es un tipo conocido de fuerza, ¿verdad? Como es una constante, tenemos la ecuación de una fuerza en MAS (Movimiento armónico simple) de la siguiente forma:

\[\vec{F}=-c \vec{x}\]

Donde:

\[c=\frac{G M}{R^{3}}\]

Bien,un tipo de fuerza elástica, ¿no? :O

¡Qué genial! Entonces, ¿quiere decir que si no hay fricción, una partícula en un túnel se va a quedar oscilando allí indefinidamente?”

¡Así es! ¡Podemos incluso calcular la frecuencia de esta oscilación! Sólo tenemos que hacer esto:

\[\frac{G M m}{R^{3}} x=k x \rightarrow k=\frac{G M m}{R^{3}}\]

¿Recuerdas cómo es la frecuencia angular en MAS? Es así

\[\omega^{2}=\frac{k}{m}\]

Así que con nuestra "constante elástica de un resorte"

\[\omega^{2}=\frac{\frac{G M m}{R^{3}}}{m}\]

\[\omega=\sqrt{\frac{G M}{R^{3}}}\]

¡¿Extraño,no?! Recordando que con esa frecuencia angular podemos calcular la frecuencia y el período de ese movimiento

\[f=\frac{\omega}{2 \pi}\]

\[T=\frac{2 \pi}{\omega}\]

Nota: ¡No confunda esta frecuencia que acabamos de calcular con la frecuencia de un cuerpo orbitando un planeta! Es que las dos frecuencias son iguales (en valor) pero tienen significados totalmente diferentes. ¡Una frecuencia es la de un MAS y la otra es de una rotación!

No hay mucho que inventar más sobre ese tema, pero no dejes de practicar. ¡Vamos!