Leyes de Kepler

No sólo Newton creó leyes para ayudar al estudio de la Gravitación Universal

 

Un científico llamado Johannes Kepler constató 3 leyes empíricas que podemos usar para resolver nuestros ejercicios. Solo mira!

 

1ª Ley de Kepler

Enunciado:

 

“Cada planeta se desplaza describiendo una órbita elíptica alrededor del Sol. El Sol ocupa uno de los focos de la elipse”.

 

No hay mucho que hablar de esa ley además de recordar algunos conceptos de elipse:

 

 

2ª Ley de Kepler

Enunciado:

 

La línea que conecta al Sol con un planeta recorre áreas iguales a intervalos de tiempo iguales

 

Ese enunciado nos muestra que la relación entre un área \(A\) cualquiera y un intervalo de tiempo \(t\) cualquiera debe permanecer constante para todo el movimiento, ¿verdad?

 

Fijate en la imagen:

 

 

Según la ley, sabemos que las áreas tienen tamaños \(A\) iguales y son recorridas en el mismo tiempo \(t\) , pero claramente ves que la relación entre las longitudes es:

 

\(l_{2}<l_{1}\)

 

Si dividimos los dos lados por \(t\), tenemos que:

 

\(v_{2}<v_{1}\)

 

Es decir, concluimos que la velocidad en el perihelio es mayor que la velocidad en el afelio.

 

“¿Qué? Peri- ¿Qué?”,tranquilo alumno, estas sólo son dos nomenclaturas, dos nombres lindos que se utilizan en la gravitación:

 

  • Afelio: punto de la órbita más lejos del sol

  • Perihelio: punto de órbita más cerca del sol

 

Para memorizar eso rapido, mira esta nemotécnica: PERIHELIO tiene PER de CERCA y AFELIO tiene AF de ALEJADO. Increible?

 

Supongamos ahora que queremos calcular un área pequeña \(d A\).

 

 

Para ello podemos aproximar esta área al área de un triángulo de altura \(r\) y base \(r d \theta\), por lo tanto:

 

\(d A=\frac{1}{2} r \cdot r d \theta \rightarrow d A=\frac{1}{2} r^{2} d \theta\)

 

Dividiendo ambos lados por \(d t\):

 

\(\frac{d A}{d t}=\frac{1}{2} r^{2} \frac{d \theta}{d t}=\frac{1}{2} \omega r^{2}\)

 

Podemos recordar, más allá de la dinámica de rotación el concepto de momento angular

 

\(L=m v r=m \omega r^{2}\)

 

Allí aprendimos que el momento angular de un sistema sólo varía si hay fuerzas externas actuando, lo cual no es el caso. Por lo tanto, \(L\) es constante

 

Finalmente, relacionando las dos ecuaciones:

 

\(\frac{d A}{d t}=\frac{L}{2 m}=c t e\)

 

Probamos entonces qué áreas iguales son recorridas en tiempos iguales

 

Otra conclusión que podemos sacar es básicamente usando la conservación del momento angular, mira:

 

\(L_{a}=L_{p}\)

 

\(m v_{a} r_{a}=m v_{p} r_{p}\)

 

\(v_{a} r_{a}=v_{p} r_{p}\)

 

Esta última relación se puede utilizar en varios ejercicios y por lo tanto vale la pena tenerla memorizada.

 

3ª Ley de Kepler

Enunciado:

 

Existe la siguiente proporcionalidad

 

\(T^{2} \propto R^{3} \propto M^{-1}\)

 

Dónde \(T\) es el período del planeta,\(R\) es la longitud del eje mayor de la elipse descrita por el planeta y \(M\) es la masa del planeta.

 

Esto puede ser comprobado al utilizar la ley de Newton de la gravitación para encontrar el período orbital, encontrando la siguiente expresión:

 

\(T=2 \pi \sqrt{\frac{R^{3}}{G M}}\)

 

Unidad astronómica

Otra definición de uso común es una medida de distancia especial: la unidad astronómica. Esta es muy simple:

 

\(1 U A=149.597.870.700 m\)

 

¡Ese número es la distancia media entre la Tierra y nuestro Sol!

 

¿Fácil? Tal vez ha sido mucho contenido nuevo a la vez, pero quédate tranquilo, échale un vistazo a los ejercicios.