Introducción a los vectores

¡Bienvenidos, espero que estén genial! 

Gracias a la física sabemos que existen dos tipos de magnitudes: la escalar y la vectorial. 

Las magnitudes escalares son definidas por un número. Sin embargo, las vectoriales se definen a través de un vector. 

Y…, ¿Qué es un vector?

Un vector es una “flecha” que posee dirección, módulo (longitud) y sentido.

La longitud, o módulo de un vector, es representado por: \(|\vec{v}|\) (las barras representan la longitud del vector). “¿Y cómo se calcula el módulo?”

Para calcular el módulo se deben sumar las coordenadas elevadas al cuadrado, y resolver la raíz. Veamos un ejemplo:

\[\vec{v}=(3,0,4)\]

\[|\vec{v}|=\sqrt{3^{2}+0^{2}+4^{2}}=\sqrt{25}=5\]

¡Sencillo! La longitud del vector \(\vec{v}\) es \(5\). 

La fórmula para calcular el módulo es:

\[|\overrightarrow{\boldsymbol{v}}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\]

CUIDADO: \(|\vec{v}| \neq \vec{v}\). \(|\vec{v}|\) es el módulo del vector \(\vec{v}\), mientras que \(\vec{v}\) representa al vector, que posee dirección, módulo y sentido.

También cabe destacar que un vector puede ser representado por dos puntos, el origen y su extremo, como se puede ver en la imagen. Entonces, si el origen es el punto \(A\) y el otro extremo es el punto \(B\), tenemos el vector \(\overrightarrow{A B}\), que comienza en \(A\) y termina en \(B\).

¿Y si el vector fuera \(\overrightarrow{B A}\)? Tendríamos un vector que comienza en \(B\) y termina en \(A\). Por tanto, \(\overrightarrow{A B}\) y \(\overrightarrow{B A}\) son vectores opuestos, porque solo se diferencian en el sentido, como podemos ver:

En lugar de representar el vector en cualquier espacio, vamos a representarlo en el plano cartesiano, de la siguiente manera:

Podemos ver al vector \(\overrightarrow{A B}\). ¿Cómo podemos encontrar las coordenadas del vector?

A continuación viene la parte importante, así que presta atención.

Como un vector es definido por dos partes:

\(\overrightarrow{A B}=B-A\)

Aprendete esa relación

Por el plano, tenemos que \(B=(0,6,2)\) y \(A=(0,1,1)\). Entonces,

\[\overrightarrow{A B}=(0,6,2)-(0,1,1)=(0,5,1)\]

“¿Es posible calcular el módulo de ese vector?” ¡Por supuesto que sí!

\[|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{0^{2}+5^{2}+1^{2}}=\sqrt{26}\]

Recuerda que, como el módulo es la longitud del vector, esta será exactamente la distancia entre los puntos \(A\) y \(B\).

Observación: “¿Y si quisiéramos descubrir si dos vectores son paralelos?”

Bien, cuando dos vectores son paralelos serán múltiplos uno del otro, así:

\[\vec{u}=(1,2,3)\]

\[\vec{v}=(2,4,6)\]

Recuerda que el vector \(\vec{v}\) es igual a dos veces el vector \(\vec{u}\), es decir, \(\vec{v}=2 \vec{u}\).

Cuando escribimos dos vectores de forma \(\vec{u}=k \vec{v}\), siendo \(k\) un número real cualquiera (excepto cero, cero no es válido), estos son paralelos. 

Y eso es todo, ¡vamos a los ejercicios!