Producto Mixto

Introducción

Imagina tener que calcular el volumen de un paralelepípedo de lados \(a=2, b=3\) y \(c=4\); entonces tendríamos que \(V=a b c=2.3 .4=24\).

Y si en lugar de tener el tamaño de los lados, tienes los tres vectores que generan ese paralelepípedo?

\[\vec{u}=(1,0,1) \quad \vec{v}=(2,1,1) \space \text { y } \space \vec{w}=(2,3,4)\]

¿Cómo calculamos el volumen?

Producto Mixto

El producto mixto puede ser representado de dos formas:

\[(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} \quad \text{o} \quad(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\]

Gracias a la primera representación podemos saber porqué es llamado mixto, pues el punto \((\bullet)\) indica el producto escalar , mientras que \(\times\) indica el producto vectorial.

“¿Y cómo resolvemos un producto mixto?”

Considerando los \(3\) vectores anteriores, \(\vec{u}, \vec{v}\) y \(\vec{w}\). Armando el producto vectorial, tendremos:

Para hallar el producto mixto debemos resolver el determinante.

Es decir, si tenemos un paralelepípedo formado por los vectores \(\vec{u}=(1,0,1), \vec{v}=(2,1,1)\) y \(\vec{w}=(2,3,4)\), su volumen será \(5\).

Recordando que como estamos hablando de volúmen, la respuesta será dada en módulo.

Ahora que sabemos cómo posicionar los vectores en el determinante, podemos dar un ejemplo genérico. Que sería así:

\[\vec{u}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), \vec{v}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) \quad \text{y} \quad \vec{w}=\left(x_{3}, y_{3}, z_{3}\right)\]

Propiedades del Producto Mixto

Ya sabemos calcular el valor del producto mixto. ¿Y si cambiamos el orden de los vectores? ¿Cambia algo? Veamos sus propiedades:

     \(\space\) \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=0\) si uno de los vectores es nulo, si dos de ellos son colineales, o si los tres son coplanares.

     \(\space\) El producto mixto es independiente del orden circular de los vectores (mira la imagen), es decir:

\[(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=(\vec{v}, \vec{w}, \vec{u})=(\vec{w}, \vec{u}, \vec{v})\]

Sin embargo, el producto mixto cambia de signo cuando se cambian las posiciones de dos vectores consecutivos, es decir:

\[(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=-(\vec{v}, \vec{u}, \vec{w})\]

     \(\space\) \((\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}+\vec{r})=(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})+(\vec{u}, \vec{v}, \vec{r})\)

     \(\space\) \((\vec{u}, \vec{v}, m \vec{w})=(\vec{u}, m \vec{v}, \vec{w})=(m \vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=m(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})\)

“¿Y cómo podemos calcular el volumen?”

Pues, el volumen es el módulo del producto mixto. Entonces, el volumen del paralelepípedo formado por \(\vec{u}, \vec{v}\) y \(\vec{w}\) es \(5\).

Para aquellos que quieran saber por qué el producto mixto equivale al volumen, echenle un vistazo al ejercicio \(10\).

Para terminar, un consejo importante:

A través del producto mixto es posible analizar si tres vectores son coplanares. Porque si el volumen es CERO, significa que los tres vectores son coplanares, por tanto, no se puede formar un paralelepípedo.

Y eso es todo, ¡ahora vamos a los ejercicios!