Combinación Lineal

Vectores y Escalares

 

A partir de este punto veremos a los vectores desde otro punto de vista… Resulta que estos no siempre son aquellas “flechas” que hemos visto hasta ahora. Los veremos de una manera mucho más abstracta.

 

 

El asunto es que hasta ahora solo hemos trabajado con \(\mathbb{R}^{2}\), es decir, con vectores de \(2\) coordenadas, mientras que en \(\mathbb{R}^{3}\), con vectores de \(3\) coordenadas. Pero, gracias al conocimiento que poseemos, podemos trabajar con vectores de cualquier cantidad de coordenadas. Recordando que un vector de \(n\) coordenadas pertenecerá a \(\mathbb{R}^{n}\).

 

La gran diferencia aquí, es que cuando tenemos más de \(3\) coordenadas en un vector, dejamos de tener una noción geométrica del espacio en el que estamos trabajando. 

 

También es importante saber que no es necesario representar a los vectores con flechas arriba de la letra \((\vec{u})\), sino solo \(u\).

 

“¿Entonces, qué es un vector ahora?”

 

Un vector continúa siendo un conjunto ordenado de números reales, llamados coordenadas, no importa cuantas ni cuales sean. 

 

Por ejemplo:

 

\[a=(1,2)\]

 

\[b=\left(4,-1,11, \frac{2}{3}, \pi\right)\]

 

Donde \(a\) y \(b\) son vectores. Ten en cuenta que \(a\) está compuesto de \(2\) coordenadas, mientras que \(b\) de \(5\). Por tanto, diremos que \(a \in \mathbb{R}^{2}\) y \(b \in \mathbb{R}^{5}\). Entonces, cualquier vector que contenga una lista ordenada de \(n\) números pertenece a \(\mathbb{R}^{n}\).

 

Tranquilo, que luego entenderás el por qué de esa notación. 

 

Ya que estamos hablando de vectores, aclaremos algunas cosas sobre ellos.

 

Primero, ¿cuando se considera que dos vectores son iguales?

 

Es igual que con los polinomios: dos polinomios son iguales cuando sus coeficientes son iguales. En este caso, dos vectores son iguales cuando poseen exactamente las mismas coordenadas. Por ejemplo:

 

    \(\bullet\) \((1,2) \neq(1,3)\)

 

    \(\bullet\) \((1,3,4)=(1,3,4)\)

 

    \(\bullet\) \((x, y, z)=(a, b, c) \Leftrightarrow x=a, \quad y=b, \quad z=c\)

 

¿Qué es un vector nulo?

 

El vector nulo es un vector que solo tiene cero en sus coordenadas y es representado por \(0\). Por ejemplo, si estamos en \(\mathbb{R}^{3}\), tenemos \(0=(0,0,0)\). Y en \(\mathbb{R}^{5}, 0=(0,0,0,0,0)\).

 

¿Qué es un escalar? Cuando decimos escalar, nos referimos a cualquier número real como \(2,-4,0, \pi, \frac{2}{3}, \sqrt{2}, 160 \in \mathbb{R}\).

 

¿Y las operaciones con vectores, cómo serían?

 

Siguen siendo tal y como las conocemos. Pero hagamos un repaso:

 

Suma: sumar las coordenadas correspondientes de cada vector. Así:

 

\[(1,2,2)+(-5,0,4)=(-4,2,6)\]

 

Multiplicación por escalar: si quisiéramos multiplicar el vector \(u\) por \(-2\), debemos multiplicar cada componente por \(-2\), de esta forma:

 

\[-2 u=-2\left(4,-1,11, \frac{2}{3}, \pi\right)\]

 

\[-2 u=\left(-8,2,-22,-\frac{4}{3},-2 \pi\right)\]

 

Combinación Lineal

 

A continuación haremos algunas sumas y multiplicaciones por escalares… 

 

Presta atención al siguiente vector:

 

\((1,1,1)\)

 

Podemos escribir ese vector de otra manera:

 

\[(1,1,1)=1(1,0,0)+1(0,1,0)+1(0,0,1)\]

 

Ahora mira este:

 

\((3,2,1)\)

 

También lo vamos a reescribir:

 

\[(3,2,1)=3(1,1,0)+1(0,-1,0)+1(0,0,1)\]

 

Como puedes ver, reescribimos esos dos ejemplos como la suma de otros vectores multiplicados por escalares reales. 

 

Lo que hicimos fue escribir el vector \((1,1,1)\) como una combinación lineal del conjunto de vectores \(\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\). Y escribimos el vector \((3,2,1)\) como una combinación lineal del conjunto de vectores \(\{(1,1,0),(0,-1,0),(0,0,1)\}\).

 

Ahora podemos llegar a una definición más general: si \(v \in \mathbb{R}^{n}\) es una combinación de los vectores \(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\), entonces puede ser escrito como:

 

\[v=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\ldots+a_{n} v_{n}\]

 

Siendo \(\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right\}\) escalares llamados coeficientes.

 

Obs: vamos a denotar el término combinación lineal con las letras \(C L\).

 

Veamos algunos ejemplos:

 

Consejo: para resolver los siguientes sistemas lineales, es decir, hallar los coeficientes reales, utiliza el método de la resta. O sea, despejar variable a variable y sustituir en la ecuación. Esto será útil para no confundirte cuando tengas infinitas soluciones para los coeficientes.

 

\(1)\) ¿El vector \((0,0,1,2)\) es una \(CL\) de \(\{(1,1,1,1),(0,2,0,0),(0,3,1,3),(0,0,0,1)\}\)?

 

Lo que queremos hallar son los coeficientes que multiplican a los vectores del conjunto y, cuando sumemos, obtener el vector \((0,0,1,2)\). Aplicando la definición:

 

\[(0,0,1,2)=a_{1}(1,1,1,1)+a_{2}(0,2,0,0)+a_{3}(0,3,1,3)+a_{4}(0,0,0,1)\]

 

Multiplicando sus coeficientes por cada vector, tenemos:

 

\[(0,0,1,2)=\left(a_{1}, a_{1}, a_{1}, a_{1}\right)+\left(0,2 a_{2}, 0,0\right)+\left(0,3 a_{3}, a_{3}, 3 a_{3}\right)+\left(0,0,0, a_{4}\right)\]

 

Sumando todos los vectores:

 

\[(0,0,1,2)=\left(a_{1}, a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}, a_{1}+a_{3}, a_{1}+3 a_{3}+a_{4}\right)\]

 

Igualando los dos vectores:

 

\[\left\{\begin{array}{c}a_{1}=0 \\ a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}=0 \\ a_{1}+a_{3}=1 \\ a_{1}+3 a_{3}+a_{4}=2\end{array}\right.\]

 

Resolviendo el sistema, tenemos que: \(a_{1}=0, a_{2}=-\frac{3}{2}, a_{3}=1, a_{4}=-1\).

 

¿Y qué quiere decir eso?

 

Quiere decir que \(0(1,1,1,1)-\frac{3}{2}(0,2,0,0)+1(0,3,1,3)-1(0,0,0,1)\)

 

Y eso será

 

\((0,0,1,2)\)

 

\(2)\) ¿El vector \((-1,-2,3)\) es una \(CL\) de \(\{(1,1,1),(0,2,4)\}\)?

 

Siguiendo el mismo proceso, intentaremos hallar \(a_{1}\) y \(a_{2}\) que satisfacen la ecuación:

 

\[(-1,-2,3)=a_{1}(1,1,1)+a_{2}(0,2,4)\]

 

Tendremos:

 

\[(-1,-2,3)=\left(a_{1}, a_{1}+2 a_{2}, a_{1}+4 a_{2}\right)\]

 

Igualando los vectores:

 

\[\left\{\begin{array}{c}a_{1}=-1 \\ a_{1}+2 a_{2}=-2 \\ a_{1}+4 a_{2}=3\end{array}\right.\]

 

Tenemos que \(a_{1}=-1\). Pero al sustituir en las otras dos ecuaciones tenemos que \(a_{2}=-1 / 2\) y \(a_{2}=1\). ¿Pero cómo \(a_{2}\) puede asumir dos valores distintos? No puede, tenemos una contradicción, es absurdo. 

 

Siempre que el sistema sea imposible de resolver nos encontraremos con contradicciones como esta. No se puede escribir el vector \((-1,-2,3)\) como \(CL\) de \((1,1,1)\) y \((0,2,4)\).

 

\(3)\) ¿El vector \((1,1,1,1,1)\) es una \(CL\) de los vectores del conjunto \(\{(1,0,1,1,0),(1,3,0,2,0)\}\)?

 

Antes de empezar veamos algo.

 

Observa que la última coordenada de los vectores del conjunto es \(0\). Esto quiere decir que, cualquiera que sean los coeficientes por la cuales multipliquemos a los vectores, nunca obtendremos una quinta coordenada distinta a \(0\).

 

El vector \((1,1,1,1,1)\) posee \(1\) en la quinta coordenada, y como \(1 \neq 0\) es imposible que el conjunto de vectores genere el vector \((1,1,1,1,1)\).

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