Clasificación de Trayectorias

Existe otra utilidad para el cálculo de la energía además de usar sólo el principio de conservación.

 

Sea un sistema que contenga sólo un planeta y el Sol. La energía total puede calcularse de la siguiente manera

 

\(E=E_{c i n}+E_{g r a v}\)

 

\(E=\frac{m v^{2}}{2}-\frac{G M m}{r}\)

 

Otra manera de expresar la energía en lugar de en función de la velocidad y la distancia a la estrella es en función del momento angular \((L)\) y de la distancia. Observa:

 

\(E=\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}-\frac{G M m}{r}\)

 

Por lo tanto, con cierta información sobre el sistema, obtenemos el valor de la energía.

 

¿Pero qué pasa? ¿Qué se hace con ese valor?

 

Podemos relacionar la energía con la trayectoria que el planeta está siguiendo, solo mira:

 

  • \(E<0\)-El sistema está conectado, es decir, hace una trayectoria cerrada, siendo una circunferencia o una elipse.

 

  • \(E=0\)-El sistema no está conectado, es decir, hace una trayectoria abierta, siendo necesariamente una parábola.

 

  • \(E>0\)-El sistema no está conectado, es decir, hace una trayectoria abierta, siendo necesariamente una hipérbola.

 

Los parámetros de las curvas se pueden obtener con un poco de conocimiento de geometría analítica y con los siguientes pasos:

 

  • Poner el Sol en el origen del sistema cartesiano

 

  • Sustituir \(r\) por \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\);

 

  • Igualar la relación para que tenga la forma de una de las cónicas conocidas.

 

Normalmente en los exámenes se hacen preguntas conceptuales sobre este tema pero, aun así, no dejes de practicar.