Operaciones con Matrices

Introducción a la Matrices

 

¡Bienvenidos, espero que estén genial! Antes de empezar con el tema, vamos a repasar algunos conceptos. 

 

Una matriz \(A_{m \times n}\) es una “tabla” de m filas y n columnas.

 

El elemento de la matriz \(A\) que está en la fila \(i\) y columna \(j\) es indicado por \(a_{i j}\). Esto porque \(a_{12}\) es el elemento de la primera fila con la segunda columna. Mira:

 

\[A_{m \times n}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ddots & & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & \ldots & a_{m n}\end{array}\right)\]

 

La diferencia es que en álgebra lineal tanto las filas como las columnas de las matrices son tratadas como vectores. Por ejemplo, podemos considerar la primera fila de la matriz \(A\) como un vector \(a_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, \ldots, a_{1 n}\right)\) perteneciente a \(\mathbb{R}^{n}\).

 

Igualmente, podemos considerar la última columna de la matriz como un vector \(a_{n}=\left(a_{1 n}, a_{2 n}, \ldots, a_{m n}\right)\), perteneciente a \(\mathbb{R}^{m}\) (porque tiene \(m\) componentes).

 

Tipos de Matrices

 

Comencemos viendo algunos tipos de matrices: 

 

Matriz nula: es la matriz en la que todos sus elementos son nulos (es decir, es una matriz que sólo tiene ceros). Es denotada por \(O_{m \times n}\). Por ejemplo:

 

\[O_{2 \times 3}=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]

 

Matriz cuadrada de orden \(\boldsymbol{n}\): es una matriz en la que la cantidad de filas es igual a la cantidad de columnas, la siguiente matriz es una “cuadrada de orden \(3\)”:

 

\[M_{3 \times 3}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & 6 & -9\end{array}\right)\]

 

Diagonal principal: la diagonal principal está formada por los elementos \(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}\), es decir, los elementos \(a_{i j}\) tales que \(i=j\). La diagonal principal de una matriz cuadrada une su esquina superior izquierda con la esquina inferior derecha. Por ejemplo, en la siguiente matriz todos los elementos de la diagonal principal son iguales a \(1\): 

 

\[\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

 

Y la diagonal principal de una matriz rectangular es la diagonal que parte de la esquina superior izquierda y sigue recta hasta encontrar el lado derecho o el lado inferior de la matriz, como en los ejemplos a continuación:

 

\[\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right] \quad\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]

 

Traza: es la suma de los elementos de la diagonal principal. Por ejemplo, la traza de \(M\), del ejemplo anterior, es dada por:

 

\[M=\left[\begin{array}{ccc}2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & 6 & -9\end{array}\right]\]

 

\(\operatorname{tr}(M)=2+0-9=-7\).

 

Matriz identidad de orden \(n\): (denotada por \(I_{n}\) o \(I d_{n}\)) es la matriz donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a \(1\), y el resto son cero.

 

Es el elemento neutro de la MULTIPLICACIÓN, es decir cualquier matriz multiplicada por la identidad del mismo orden es igual a sí misma, como \(2 \cdot 1=2\).

 

Ejemplos:

 

\[I_{2}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right], I_{3}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], I_{4}=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right], \ldots\]

 

Matriz triangular superior: es una matriz que posee el elemento \(a_{i j}=0\) para toda \(i>j\). Basta con que solo tenga ceros debajo de su diagonal principal.

 

Por ejemplo, toda matriz triangular superior \(4 \times 4\) es así:

 

\[K_{4 \times 4}=\left(\begin{array}{llll}a & b & c & d \\ 0 & f & g & h \\ 0 & 0 & j & k \\ 0 & 0 & 0 & m\end{array}\right)\]

 

No importa si alguna de las letras también es cero, lo que importa es que tenga ceros en el lugar indicado. 

 

Análogamente tenemos:

 

Matriz triangular inferior: que funciona casi igual que la superior, solo que esta posee los elementos \(a_{i j}=0\) para toda \(i<j\). Es decir, solo tiene ceros sobre de la diagonal principal. Por ejemplo:

 

\[L_{4 \times 4}=\left[\begin{array}{llll}a & 0 & 0 & 0 \\ b & c & 0 & 0 \\ d & e & f & 0 \\ g & h & i & j\end{array}\right]\]

 

Matriz diagonal: es una matriz que posee \(a_{i j}=0\) para toda \(i \neq j\). Es decir, que todos los elementos que están fuera de la diagonal principal sean \(0\). Los de la diagonal principal pueden ser cualquier elemento. Ejemplo:

 

\[\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 6\end{array}\right] \space \text{y} \space \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right]\]

 

¡Ahora que conocemos los diferentes tipos de matrices, veamos las operaciones!

 

Operaciones entre Matrices

 

Las operaciones con matrices son parecidas a las operaciones con vectores. En realidad, son iguales. 

 

Cuando sumabamos vectores debíamos sumar elemento por elemento. Los mismo ocurre con las matrices:

 

\[\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 2 & -1 \\ 4 & 8\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4 & 3 \\ 0 & 5 \\ 9 & -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+4 & 0+3 \\ 2+0 & -1+5 \\ 4+9 & 8-7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5 & 3 \\ 2 & 4 \\ 13 & 1\end{array}\right)\]

 

Cuando multiplicabamos vectores por un escalar, debíamos multiplicar cada componente. Los mismo aquí, vamos a multiplicar la matriz identidad por \(3\) a modo de ejemplo:

 

\[3 \cdot I_{2}=3 \cdot\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}3 \cdot 1 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}3 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right)\]

 

Para multiplicar dos matrices es un poco diferente, porque existen algunas restricciones. Veamos cuáles son:

 

Podemos multiplicar dos matrices si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. En resumen, podemos multiplicar una \(2 \times 3\) por una \(3 \times 4\), porque la primera tiene \(3\) columnas y la segunda tiene \(3\) filas. Sin embargo, no podemos multiplicar al contrario.

 

No podemos multiplicar una \(3 \times 4\) por una \(2 \times 3\) porque la primera tiene \(4\) columnas mientras que la segunda tiene \(2\) filas.

 

Un detalle: en general, el producto de matrices no es conmutativo, es decir, 

 

\[A \cdot B \underbrace{\neq}_{\text {diferente! }} B \cdot A\]

 

Esto ocurre en la mayoría de los casos. Sin embargo, pueden haber matrices en las que el orden de multiplicación no importa. 

 

El resultado del producto de matrices será otra matriz con el número de filas de la primera y el número de columnas de la segunda. Mira los ejemplos:

 

\[A_{2 \times 3} \cdot B_{3} \times 4=C_{2 \times 4}\]

 

\[A_{3 \times 1} \cdot B_{1 \times 2}=C_{3 \times 2}\]

 

\[A_{2 \times \underbrace{3}} \cdot B_{\underbrace{2}_{??}\times 4}=\text{imposible}\]

 

\[A_{2 \times 4} \cdot B_{4 \times 2}=C_{2 \times 2}\]

 

\[A_{2 \times \underbrace{4}} \cdot B_{\underbrace{2}_{??}\times 4}=\text{imposible}\]

 

Ya sabemos cuándo podemos multiplicar, solo falta saber cómo multiplicar.

 

Para \(A \cdot B=C\) debes multiplicar las columnas de la matriz \(B\) por las filas de la matriz \(A\), multiplicando el primer elemento de la columna \(B\) por el primer elemento de la fila \(A\), el segundo elemento de la columna \(B\) por el segundo elemento de la fila \(A\) y así sucesivamente. Luego tenemos que sumar todo. 

 

Los pasos a seguir son:

 

     \(\bullet\) Tomar la primera columna de la matriz \(B\)

 

     \(\bullet\) Multiplicar la columna por la primera fila de \(A\) para obtener el elemento \(c_{11}\)

 

     \(\bullet\) Multiplicar la columna por la segunda fila de \(A\) para obtener el elemento \(c_{21}\)

 

     \(\bullet\) Multiplicar la columna por la \(m-\)ésima fila de \(A\) para obtener el elemento \(c_{m1}\)

 

     \(\bullet\) Tomar la segunda columna de la matriz \(B\)

 

     \(\bullet\) Multiplicar la columna por la primera fila de \(A\) para obtener el elemento \(c_{12}\)

 

     \(\bullet\) Multiplicar la columna por la segunda fila de \(A\) para obtener el elemento \(c_{22}\)

 

     \(\bullet\) Multiplicar la columna por la \(m-\)ésima fila de \(A\) para obtener el elemento \(c_{m 2}\)

 

     \(\bullet\) Repetir los pasos con el resto de filas y columnas de la matriz.

 

Veamos un ejemplo:

 

\[A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}4 & 3 \\ 1 & 5 \\ -1 & 0\end{array}\right)\]

 

¿Se puede multiplicar?

 

Veamos: la primera es \(2 \times 3\), mientras que la segunda es \(3 \times 2\). ¡Por tanto, si se puede!

 

\[A_{2 \times \underbrace{3}} \cdot B_{\underbrace{3} \times 2}=C_{2 \times 2}\]

 

Entonces, el resultado de la multiplicación \(A \cdot B\) será una matriz cuadrada \(2 \times 2\).

 

\[C_{2 \times 2}=\left[\begin{array}{ll}c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22}\end{array}\right]\]

 

Para hallar \(c_{11}\), debemos multiplicar la 1ª columna de \(B\) por la 1ª fila de \(A\):

 

 

La multiplicación debe hacerse de tal manera que el primer elemento de la columna de \(B\) multiplique al primer elemento de la fila de \(A\), así como indican las flechas. Entonces, \(c_{11}\) debe ser:

 

\[c_{11}=4.2+1.1-1.0=9\]

 

Para hallar \(c_{21}\), debemos multiplicar la 1ª columna de \(B\) por la 2ª fila de \(A\):

 

 

\[c_{21}=4.3+1.1-1.2=11\]

 

Para hallar \(c_{12}\), multiplicamos la 2ª columna de \(B\) por la 1ª fila de \(A\):

 

 

\[c_{12}=3.2+5.1+0.0=11\]

 

Para hallar \(c_{22}\), debemos multiplicar la 2ª columna de \(B\) por la 2ª fila de \(A\):

 

 

\[c_{22}=3.3+5.1+0.2=14\]

 

¡Y así obtendremos la matriz \(C\)!

 

\[C=A \cdot B=\left[\begin{array}{cc}9 & 11 \\ 11 & 14\end{array}\right]\]

 

Puede parecer complicado, pero con el tiempo te acostumbrarás a hacerlo. 

 

En este ejemplo usamos \(A \cdot B\) que es \(2 \times 2\), pero \(B \cdot A\) es \(3 \times 3\). Si quieres seguir practicando intenta resolver \(B \bullet A\)

 

Transposición de Matrices

 

Vamos a formar una matriz \(B_{3 \times 4}\):

 

\[B=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & \pi & 2\end{array}\right]\]

 

Una matriz transpuesta se ensambla básicamente intercambiando las columnas con las filas de la matriz original. Por tanto, la matriz transpuesta de \(B\) es:

 

\[B^{T}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & \pi \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]\]

 

¿Notaste que se invirtió el orden? \(B\) era \(3 \times 4\) y ahora \(B^{T}\) es \(4 \times 3\). 

 

También existen algunas operaciones relacionadas con la transposición de matrices que valen la pena conocer:

 

\(1)\) \(\left(B^{T}\right)^{T}=B\)

 

\(2)\) \((A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\)

 

\(3)\) \((A B)^{T}=B^{T} A^{T}\) (¡NO OLVIDES ESTA PROPIEDAD!)

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