Base y Dimensión

Vamos a seguir hablando sobre ecuaciones paramétricas y espacios generados… 

¿Todo conjunto de vectores que genera un espacio es una base? ¿Qué necesita un conjunto de vectores para ser una base?

Imagina que estamos en el espacio \(R^{3}\) y queremos definir el plano \(x y\).

En este caso vamos a decir que el plano \(x y\) es el plano \(II\).

Podemos representar \(II\) a través de vectores, por ejemplo:

\[II=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\]

Estos vectores generan el plano \(II\).

Si sumamos esos dos vectores y aumentamos el \(span\) también vamos a generar el plano \(II\).

\[II=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}\]

Pero…,¿por qué hablamos de todo eso? Porque así podemos notar que sumando un vector que es combinación lineal de otros o tomando múltiplos de los vectores anteriores, no alteramos el espacio que queremos generar. Gráficamente queremos decir que:

El primero representa el espacio generado por el conjunto \(\{(2,0,0),(0,2,0)\}\), mientras que el segundo el espacio generado por el conjunto \(\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}\). ¿Ves que son iguales? Ambos son el plano \(II\).

Podemos hallar infinitos conjuntos que generan el espacio. Por ejemplo:

\[II=\operatorname{span}\{(4,0,0),(0,3,0),(1,2,0)\}\]

\[II=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,1,0)\}\]

¿Entiendes? ¡Genial!

El objetivo es estudiar algunos de estos conjuntos que generan espacios: las bases.

Base

Una base es un conjunto de elementos del espacio vectorial. De todos los ejemplos anteriores, ¿cuáles son bases?

Para ser una base, el conjunto de vectores debe seguir dos reglas:

     \(\bullet\) Generar espacio

     \(\bullet\) Ser \(LI\)

Es decir, las bases son conjuntos linealmente independientes de vectores que generan espacio. 

Por ejemplo:

\(\{(1,0,0),(0,1,0)\}\) es un conjunto de vectores \(LI\) que generan el plano \(II\), entonces es una base.

Lo mismo ocurre con \(\{(2,0,0),(0,2,0)\}\), quien también es una base de \(II\).

Si vemos \(\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}\), tenemos que el vector \((1,1,0)\) que es una combinación lineal de los primeros, por tanto, es \(LD\). Entonces \(\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}\) no es una base de \(II\) a pesar de generar espacio, como vimos anteriormente. 

Dimensión

Todo espacio es generado por un número mínimo de elementos. Al número mínimo de vectores que generan un espacio le decimos dimensión del espacio. Por ejemplo:

Volviendo a uno de los conjuntos generadores del plano \(x y\):

\[II=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\]

Vemos que con \(2\) vectores podemos generar el plano deseado.

¿Y si agregamos otro vector?

\[II=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}\]

Podemos ver que con \(3\) vector el espacio que se genera sigue siendo el mismo. 

¿Y si quitamos dos vectores?

\[II=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}\]

En este caso, con \(1\) vector, el espacio ya no es el mismo. No podemos generar el plano \(xy\) solamente con \(1\) vector, nada más generamos el eje \(x\).

Por tanto, el número mínimo para generar el plano \(II\) es \(2\). Decimos que la dimensión de ese espacio es \(2\). 

\[\operatorname{dim}=2\]

¿Y de qué nos sirve? Supongamos que nos preguntan si el conjunto \(\{(1,2,0),(0,0,3),(0,1,3)\}\) es base de \(R^{3}\)?

Fácilmente podemos descubrir que es un conjunto \(LI\), pero…, ¿será que es un conjunto generador de \(R^{3}\)? ¿Qué necesita un conjunto para ser un conjunto generador? Si averiguamos la dimensión del espacio podemos saber el número mínimo de vectores para tener una base.

El espacio \(R^{3}\) tiene dimensión \(3\). Entonces, para tener una base, necesitamos al menos tres vectores linealmente independientes.

El conjunto \(\{(1,2,0),(0,0,3),(0,1,3)\}\) es \(LI\) y también tiene \(3\) elementos, entonces es una base de \(R^{3}\). 

Recordando que si tenemos más elementos, seguiremos teniendo un conjunto generador, sin embargo, no será una base porque algunos vectores serán necesariamente una combinación lineal de los otros.

También podemos pensar que la dimensión es el número de vectores en la base de un espacio.

Para terminar, algunos puntos a resaltar

     \(\bullet\) Los espacios compuestos por polinomios y matrices también tienen bases y, por tanto, dimensiones. 

     \(\bullet\) La base canónica de un espacio es la más "simple". Por ejemplo, en \(R^{2}\) es esta: \(\{(1,0),(0,1)\}\) formada tan solo por \(1 ' s\) y \(0 's\), los propios vectores del eje.

     \(\bullet\) No podemos tener un espacio de mayor dimensión que el propio espacio en el que los vectores generadores están contenidos. Por ejemplo, no podemos generar un espacio de una dimensión mayor que \(3\) con vectores de \(R^{3}\), es decir, con \(3\) coordenadas.