CL y DL de Polinomios y Matrices

CL y DL con Matrices

Recordemos cómo era la combinación lineal con vectores: un vector es una combinación lineal de un conjunto de vectores si puede ser escrito como una operación de ellos. Cuando hablamos de operación, nos referimos a suma vectorial y multiplicación escalar.

\[v=\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\alpha_{3} v_{3}\]

El vector \(v\) es una combinación lineal del conjunto \(\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}\).

El vector \(v\) es, por ejemplo, \((1,4,4)\) y el conjunto es \(\{(0,-2,1),(-2,8,3),(-3,0,1)\}\).

Entonces, la combinación lineal será:

\[(1,4,4)=2(0,-2,1)+(-2,8,3)-1(-3,0,1)\]

¿Qué pensarías si te digo que podemos hacer lo mismo con las matrices? ¡Veámoslo!

Y así, en lugar de \(v\) tenemos una matriz, por ejemplo \(\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]\) y en lugar de \(\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}\), tenemos un conjunto de matrices, \(\left\{\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 0 & -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}4 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\ 3 & 2\end{array}\right]\right\}\).

Y podemos armar la combinación lineal:

\[\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right]=-2\left[\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 0 & -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}4 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]-1\left[\begin{array}{cc}0 & 3 \\ 3 & 2\end{array}\right]\]

¡Acabamos de aplicar las operaciones elementales!

Veamos otro ejemplo:

¿La matriz \(\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 3 & 0\end{array}\right]\) es una combinación lineal de las matrices \(\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 2 & 0\end{array}\right]\) y \(\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]\)?

Intentemos armar esa \(CL\):

\[\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 3 & 0\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 2 & 0\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]\]

\[\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 3 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2 a+b & b \\ 2 a & 0\end{array}\right]\]

Así como con los vectores, igualando coordenada por coordenada, lo haremos con matrices, igualando elemento por elemento:

\[\left\{\begin{array}{c}2 a+b=2 \\ b=-1 \\ 2 a=3 \\ 0=0\end{array}\right.\]

Tenemos que \(b=-1\) y \(a=\frac{3}{2}\). Vamos a sustituir en la primera ecuación para ver si no existe ninguna contradicción:

\[2 a+b=2 \Longrightarrow 2 \cdot \frac{3}{2}-1=2\]

\[3-1=2\]

\[2=2\]

¡Genial! Entonces esa matriz es una combinación lineal de las otras.

La dependencia lineal sigue siendo lo mismo. Si tenemos, en el conjunto, una o más matrices que son combinación lineal de las otras, el conjunto es \(L D\), es decir, linealmente dependiente. Si ninguna de las matrices puede ser escrita como una combinación lineal de las otras, entonces el conjunto es \(LI\), linealmente independiente.

¿Y cómo se verifica la dependencia lineal?

Bueno, al igual que antes, podemos hacer la combinación lineal de las matrices e igualar la matriz nula, sabiendo que si todos los coeficientes son cero el conjunto es \(L I\):

\[a\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ 3 & 0\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 2 & 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]\]

\[\left[\begin{array}{cc}2 a+2 b+c & -a+c \\ 3 a+2 b & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]\]

\[\left\{\begin{array}{c}2 a+2 b+c=0 \\ -a+c=0 \\ 3 a+2 b=0\end{array}\right.\]

Tenemos que \(c=a\) y \(b=-\frac{3 a}{2}\) sustituyendo en la primera ecuación; no llegamos a ninguna conclusión, por tanto, tenemos que \(0=0\).

Como no concluimos que todos los coeficientes son cero, podemos afirmar que el conjunto es \(L D\). 

También podemos resolverlo de otra forma, mucho más sencilla: escalonando. “¿Escalonar matrices? ¿Cómo así?”

Tomar los elementos de cada matriz, ponerlos en las filas de otra matriz y escalonar:

\[\left[\begin{array}{cccc}2 & -1 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0\end{array}\right]\]

Ya sabemos que el conjunto es \(LD\), así que dejaré que esta parte la hagas tu por tu cuenta. 

CL y DL con Polinomios

¡Es el mismo principio!

El polinomio \(x^{2}+2 x-3\) es una combinación lineal de \(-x^{2}+3 x-2\) y \(x-1\) si conseguimos escribirlo como una operación de dichos polinomios:

\[x^{2}+2 x-3=a\left(-x^{2}+3 x-2\right)+b(x-1)\]

\[x^{2}+2 x-3=-a x^{2}+3 a x-2 a+b x-b\]

Agrupando los términos que multiplican \(x^{2}, x\) y los términos independientes:

\[x^{2}+2 x-3=x^{2}(-a)+x(3 a+b)+(-2 a-b)\]

Y ahora podemos igualar los términos que multiplican cada potencia de \(x\):

\[\left\{\begin{array}{c}-a=1 \\ 3 a+b=2 \\ -2 a-b=-3\end{array}\right.\]

Entonces, de la primera ecuación tenemos que \(a=-1\). Sustituyendo en la segunda, hallamos que \(b=5\). Podemos comprobarlo en la tercera ecuación.

Podemos decir que este polinomio es una combinación lineal de los demás. Y por tanto, el conjunto \(\left\{x^{2}+2 x-3,-x^{2}+3 x-2, x-1\right\}\) es \(L D\).

Podemos usar los mismos métodos para verificar la dependencia lineal de un conjunto de polinomios: hallando los coeficientes de la combinación lineal que genera el polinomio nulo y viendo si todos son cero, o escalonando. 

Esta vez, para escalonar, vamos a poner los coeficientes de las potencias de \(x\) en las filas:

\[\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right]\]

Escalonando: 

\[\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right] \frac{L_{2} \rightarrow L_{2}+L_{1}}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 0 & 5 & -5 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right] \stackrel{L_{3} \rightarrow L_{3}-\frac{1}{5} L_{2}}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\ 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]

Llevamos a cero una fila, esto demuestra que los polinomios realmente formaban un conjunto \(LD\).