Resolviendo Sistemas Lineales

Antes de comenzar a hablar sobre los tipos de sistemas lineales, centrémonos en cómo hallar las soluciones de dichos sistemas. Pero antes, hablaremos sobre los sistemas lineales en su forma matricial. 

Un sistema lineal puede ser representado matricialmente, es decir, de \(A x=b\), donde la incógnita es el vector \(x\).

¡Un minuto! ¡Vamos con calma! Supongo que estarás pensando que la idea que tienes de un sistema lineal es distinta a esta. ¡Pero no lo es! Veamos un ejemplo para que notes la equivalencia.

Considere la matriz \(A\) y el vector \(b\):

\[A=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right), b=(1,1)\]

La pregunta es: ¿por cuál vector \(x\) tenemos que multiplicar la matriz \(A\) para obtener el vector \(b=(1,1)\) como respuesta? Ahí surge el sistema lineal \(A x=b\):

\[\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right) \bullet\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)\]

Queremos descubrir cuál es el vector \(x\). Para ello, tenemos que descubrir quiénes son los vectores \(x_{1}\) y \(x_{2}\).

Haciendo una multiplicación de matrices, tenemos que:

\[2 x_{1}+3 x_{2}=1\]

De la segunda línea:

\[x_{1}+2 x_{2}=1\]

Finalmente, tenemos un sistema con dos ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+3 x_{2}=1 \\ x_{1}+2 x_{2}=1\end{array}\right.\]

¡Ves! Ahora sí tenemos lo que de costumbre llamamos sistema lineal. Pero recuerda: las dos formas son equivalentes, y significan lo mismo.

\[\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right) \underbrace{\longleftrightarrow}_{\text {¡lo mismo!}}\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}-3 x_{2}=1 \\ x_{1}+2 x_{2}=1\end{array}\right.\]

Lo que acabamos de hacer es pasar el sistema de su forma matricial a su forma de ecuación.

La forma matricial es excelente para representar sistemas con muchas ecuaciones.

Decimos que la matriz \(A\) es la matriz de coeficientes, porque esta tiene los coeficientes que acompañan a \(x_{1}, x_{2} ,\)… en el sistema lineal.

Existe otra matriz importante, la cual llamamos matriz aumentada. Esta es casi igual a la matriz de coeficientes, solo que con una columna más. En esta última columna, a la derecha, colocamos el vector \(b\).

Mira la matriz aumentada del sistema anterior:

\[\left(\begin{array}{ll|l}2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)\]

Resolviendo sistemas lineales

Vamos a lo que nos interesa: ¡resolver los sistemas!

Estudiaremos dos formas:

Despejando las variables: 

Este método consta de despejar las variables y sustituirlas en la otra ecuación:

Ejemplo 1:

Sea el sistema matricial:

\[\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 2 & -3\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right]\]

Podemos apreciar que el sistema está igualado al vector nulo, ese tipo de sistema tiene un nombre: sistema homogéneo \((A x=0)\).

Vamos a escribir el sistema así (en forma de ecuación):

\[\left\{\begin{array}{c}x+y=0(I) \\ 2 x-3 y=0(I I)\end{array}\right.\]

Básicamente tenemos que resolver el sistema de la forma en que estamos acostumbrados.

Haciendo \(x=-y\) en \((I)\) y sustituyendo en \((II)\):

\[-2 y-3 y=0 \Rightarrow-5 y=0 \Rightarrow y=0\]

Y, por tanto:

\[x=0\]

Entonces, el conjunto solución \(S\) es:

\[S=\{(0,0)\}\]

Y notamos que el problema solo tiene una solución.

Escalonando:

Escalonar es una técnica que simplifica la resolución de un sistema lineal. Básicamente, tenemos que aplicar las relaciones elementales de las matrices para sustituir el problema que queremos resolver por uno más sencillo. Este método es el indicado cuando el sistema es complejo y es difícil despejar las variables. 

Ejemplo 2: tenemos el siguiente sistema homogéneo:

\[\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 5\end{array}\right] \bullet\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]\]

Tenemos que escalonar la matriz aumentada:

\[\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 \\ 2 & 5 & 5 & 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & -1 & 0\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0\end{array}\right]\]

Vamos a transformarla en un sistema lineal:

\[\left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+2 x_{3} &=0(I) \\ 3 x_{2}+x_{3}=0 \Rightarrow x_{3} &=-3 x_{2}(I I) \end{aligned}\right.\]

Sustituyendo \(x_{3}\) en la ecuación \((I)\):

\[x_{1}+x_{2}-6 x_{2}=0 \Rightarrow x_{1}=5 x_{2}\]

Observa que tanto \(x_{1}\) como \(x_{3}\) pueden ser colocados en función de \(x_{2}\). Entonces, la solución será:

\[x=\left[\begin{array}{c}5 x_{2} \\ x_{2} \\ -3 x_{2}\end{array}\right]\]

\[x=\left(5 x_{2}, x_{2},-3 x_{2}\right)\]

Como \(x_{2}\) está multiplicando todas las coordenadas, podemos ponerlo en evidencia:

\[x=x_{2}(5,1,-3)\]

Eso quiere decir que todas las soluciones de dicho sistema son los múltiplos del vector \((5,1,-3)\). Entonces, podemos escribirlo como un espacio generado por todas las \(CL\) de ese único vector. Si \(S\) es el conjunto solución de ese sistema, tenemos que:

\[S=\operatorname{span}\{(5,1,-3)\}\]

Siendo \(\operatorname{span}\) el espacio generado.

Si todavía no entiendes los espacios generados en Calculisto contamos con un capítulo entero, donde te explicamos detalladamente todo lo que tienes que saber. 

¿Notaste que esta vez dio infinitas soluciones? Genial, ¿no?

Cabe resaltar que el conjunto-solución de un sistema puede tener más de un parámetro. Si eso sucede, tendríamos el \(\operatorname{span}\) de varios vectores. 

Ejemplo 3:

\[\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 4\end{array}\right]\]

Esta vez el sistema no está igualado al vector nulo, por tanto, es un sistema no homogéneo \((A x=b)\).

\[\left[\begin{array}{ll|l}1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right]\]

Escalonando:

\[\left[\begin{array}{cc|c}1 & 2 & 1 \\ 3 & 6 & 3 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right] \underbrace{\longrightarrow}_{L_{2} \leftarrow 3 L_{1}-L_{2}}\left[\begin{array}{cc|c}1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right]\underbrace{\longrightarrow}_{\text {retiramos la fila nula }}\left[\begin{array}{ll|l}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right]\]

Transformándolo en un sistema lineal:

\[\left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{2}=1 \Rightarrow x_{1}=-7 \\ 0 x_{1}+x_{2}=4 \Rightarrow x_{2}=4\end{array}\right.\]

Entonces, tenemos que la solución es el vector:

\[x=\left[\begin{array}{c}-7 \\ 4\end{array}\right]\]

Sin embargo, esta es solo una solución particular del sistema, las soluciones particulares cambian a medida que varía \(b\) de \(A x=b\). Pero hablaremos sobre esto más adelante. 

Podemos calcular la solución del sistema lineal homogéneo asociado a ese sistema lineal. Solo tenemos que pasar de \(A x=b\) a \(A x=0\). Entonces, tomamos \(b\) como:

\[b=\left[\begin{array}{c}0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right]\] 

\[A x=0\]

\[\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 6 \\ 0 & 1\end{array}\right] \bullet\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]\]

Transformándolo en un sistema lineal:

\[\left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{2}=0(I) \\ 3 x_{1}+6 x_{2}=0 (II)\\ x_{2}=0(I I I)\end{array}\right.\]

Podemos descartar la segunda ecuación porque \((I I)=3(I)\).

Como \(x_{2}=0\), podemos ver, por la ecuación \((I),\) que \(x_{1}=0\).

Vemos entonces que la solución realmente cambia con \(b\). 

Ejemplo 4: vamos a usar la matriz del ejemplo 2.

\[\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 5\end{array}\right] \bullet\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right]\]

Pero esta vez el vector \(b\) no es nulo, eso caracteriza a un sistema no homogéneo.

Convirtiéndolo en un sistema lineal:

\[\left\{\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=1 \\ x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}=1 \\ 2 x_{1}+5 x_{2}+5 x_{3}=2\end{array}\right.\]

La tercera ecuación es la suma de las otras dos, por lo que podemos descartarla (solo mira la matriz):

\[\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=1 \\ x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}=1\end{array}\right.\]

En la primera ecuación podemos despejar \(x_{1}\)

\[x_{1}=1-x_{2}-2 x_{3}\]

Y sustituir en la segunda ecuación:

\[x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}=1 \Rightarrow 1-x_{2}-2 x_{3}+4 x_{2}+3 x_{3}=1 \Rightarrow 3 x_{2}+x_{3}=0\]

\[x_{3}=-3 x_{2}\]

Hallamos una relación entre \(x_{2}\) y \(x_{3}\) que podemos utilizar para escribir \(x_{1}\) en función de \(x_{2}\) en la primera ecuación:

\[x_{1}=1-x_{2}-2 x_{3} \Rightarrow x_{1}=1-x_{2}+6 x_{2}\]

\[x_{1}=1+5 x_{2}\]

¿Viste que esta vez tuvimos infinitas soluciones para una solución en particular?

Podemos representar esas soluciones como:

\[\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(1+5 x_{2}, x_{2},-3 x_{2}\right)=(1,0,0)+x_{2}(5,1,-3)\]

Es decir:

\[(1,0,0)+{span}\{(5,1,-3)\}\]

¿Notaste que ese es exactamente el espacio generado del sistema homogéneo? Analicemos eso.

Solución General del sistema lineal

¿Notaste que en este último ejemplo la respuesta del sistema lineal no homogéneo dió un espacio generado desplazado? Esto se debe a que es la solución general del sistema lineal.

La forma de la solución general es:

\[S=v_{0}+S_{0}, v_{0} \in S\]

“Pero espera, ¿no teníamos que hallar la solución particular?” La solución particular es cualquier vector del conjunto solución \(S\). “¿Pero \((1,0,0)\) es una solución particular de \(S\)?” 

Si, solo tenemos que escoger el múltiplo \(0 \cdot(5,1,-3)\) y así tendremos:

\[(1,0,0)+0 \cdot(5,1,-3)=(1,0,0)\]

También podemos tener otra solución particular:

\[v_{0}=(1,0,0)+1 \cdot(5,1,-3)=(6,1,-3)\]

Siendo así:

\(S=(6,1,-3)+{span}\{(5,1,-3)\}\)

Entonces, para hallar la solución general solo tenemos que hallar la solución del sistema homogéneo y sumarla con una solución particular, o calcular la solución del sistema lineal no homogéneo e identificar los términos relativos al sistema homogéneo y la solución particular. 

¡Eso es todo amigos, no olviden seguir practicando en la sección de ejercicios!