Método de Gauss

Operaciones elementales

Es bueno saber que el nombre "operación" no tiene nada que ver con la suma, la multiplicación, etc. De hecho, las operaciones básicas de una matriz son estas:

     \(\bullet\) Cambiar filas de lugar - \(L_{i} \leftrightarrow L_{j}\);

     \(\bullet\) Multiplicar filas por un escalar (distinto a cero) - \(L_{i} \leftarrow k \cdot L_{i}\);

     \(\bullet\) Cambiar una fila por una combinación lineal de esta con otra fila - \(L_{i} \leftarrow L_{i}+k \cdot L_{j}, i \neq j\);

     \(\bullet\) Descartar una fila que solo tenga ceros. 

Si realizas una de estas operaciones en cualquier matriz, tendrás una matriz equivalente a la que tenía antes. El hecho de que sea equivalente no significa que sea igual. Las matrices equivalentes se denotan con el símbolo \(\sim\). Mira:

\[\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 4 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right) \underbrace{\sim}_{(i)}\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right) \underbrace{\sim}_{ii}\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right) \underbrace{\sim}_{iii}\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -2\end{array}\right)\]

Todas las matrices anteriores son equivalentes.

¿Puedes ver qué operaciones elementales fueron utilizadas para generar cada una?

Veamos:

     \(\bullet\) En el paso \((i)\) multiplicamos la \(2^{\mathrm{a}}\) línea por \(\frac{1}{2}\). Cada vez que hagamos esa operación, lo vamos a indicar de la siguiente forma:

\[L_{2} \leftarrow \frac{1}{2} L_{2}\]

(Esa notación significa que la nueva fila \(2\) fue sustituida por la mitad de la anterior) 

     \(\bullet\) En el paso \((ii)\) cambiamos la \(1^{\mathrm{a}}\) fila de lugar con la \(3^{\mathrm{a}}\), indicando:

\[L_{1} \leftrightarrow L_{3}\]

     \(\bullet\) En el paso \((iii)\) cambiamos la \(3^{\mathrm{a}}\) fila por \((0,1,-2)\). ¿De donde sacamos eso? Si observas detalladamente, \((0,1,-2)=(2,2,1)-(2,1,3)\), y luego es una combinación lineal de la \(2^{\mathrm{a}}\) con la \(3^{\mathrm{a}}\) fila. Se indica de esta forma:

\[L_{3} \leftarrow L_{3}-L_{2}\]

(Significa que la nueva fila \(3\) es la antigua fila \(3\) menos la antigua fila \(2\))

Eliminación de Gauss

Este método también es conocido como “escalonamiento”.

Escalonar una matriz significa usar las operaciones elementales hasta generar una matriz equivalente que esté en su forma escalonada.

Una matriz escalonada es una matriz triangular superior.

(En caso de que no lo recuerdes, es aquella en que la segunda fila comienza con un cero, la tercera comienza con dos ceros, así sucesivamente).

Está bien, pero ¿por qué tenemos que hacer esto?

Principalmente porque a través de este método podemos verificar la dependencia lineal de un conjunto de vectores, los vectores que están en las filas de las matrices. Es decir, a través del escalonamiento podemos descubrir si un conjunto es \(L I\) o \(L D\). ¿Pero cómo?

Veamos algunos ejemplos para aprender cómo se utiliza este método:

Tenemos la siguiente matriz:

\[\left(\begin{array}{lll}0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)\]

Si cambiamos la primera fila por la segunda, tenemos:

\[\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right)\]

¡Y listo! Esta es su forma escalonada.

¿Y esta?

\[\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{lll}? & ? & ? \\ 0 & ? & ?\end{array}\right)\]

Queremos generar un cero en el lugar indicado, pero ¿cómo lo hacemos?

Debemos usar la tercera operación elemental, e intentar hallar una combinación lineal de \((2,2,2)\) y \((1,2,3)\) que tenga \(0\) en la primera coordenada de estos vectores (si es que podemos llamarlos así).

Piensa:

\[\begin{array}{lll}\cdot\\ \cdot\\ \cdot\end{array}\]

\[\begin{array}{lll}\cdot\\\cdot\\ \cdot\end{array}\]

\[\begin{array}{lll}\cdot\\\cdot\\ \cdot\end{array}\]

¿Ya?

La solución es: \(2 \bullet(1,2,3)+(-1) \cdot(2,2,2)=(0,2,4)\).

Ahora podemos cambiar la segunda fila (porque no tiene ceros) por \((0,2,4)\). Así:

\[\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 4\end{array}\right)\]

El método es ese, sin embargo, existe un truco para que el proceso sea más rápido.

El Algoritmo

Para los que no sepan qué es un algoritmo, se trata de un método para resolver algo, lo que sea.

Pero primero debes saber qué es un pivote.

Pivote: es el primer elemento no nulo de cada fila.

Notación: el pivote es llamado \(p\).

Los pasos del algoritmo son:

     \(1.\) Encontrar el pivote de la \(1^{a}\) fila

     \(2.\) Llevar a cero todos los elementos debajo de dicho pivote.

     \(3.\) Encontrar el pivote de la \(2^{a}\) fila

     \(4.\) Llevar a cero todos los elementos debajo de dicho pivote.

     \(5.\) Encontrar el pivote de la \(3^{a}\) fila

     \(6.\) Repetir el proceso con el resto de filas de la matriz

La matriz que usaremos a modo de ejemplo será esta:

\[\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 6 \\ 2 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 6\end{array}\right)\]

PASO 1: encontrar el primer pivote de la primera fila

En este caso, el pivote de la primera fila es \(1\)

PASO 2: llevar a cero todos los elementos debajo de dicho pivote.

En la primera columna tenemos: \(\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right)\).

Queremos llevar a cero a \(2,3\) y \(-1\) usando \(1\) como pivote.

Para llevar a \(2\) a cero, debemos multiplicar \(1\) por \(-2\) y sumar. (Porque \(-2 \cdot 1+2=0\)).

No se supone que solo lo hagamos con el \(2\), sino más bien con la fila de \(2\).

Lo que tenemos que hacer es: (fila de \(1\) \(\times(-2)+\) fila de \(2\). Es decir:

\[L_{2} \leftarrow-2 L_{1}+L_{2}\]

Por tanto, la nueva fila \(2\) será: \(-2(1,2,6)+(2,2,4)=(0,-2,-8)\). 

Haremos lo mismo con \(3\).

Queremos llevarlo a cero usando \(1\) como pivote, entonces haremos lo siguiente: (fila de \(1\))\(\times(-3)+\) fila de \(3\).

\[L_{3} \leftarrow-3 L_{1}+L_{3}\]

La nueva fila \(3\) será: \(-3(1,2,6)+(3,1,1)=(0,-5,-17)\).

Y por último con \(-1\), tenemos que: (fila de \(1\) \(\times(1)+\) fila de \(-1\).

\[L_{4} \leftarrow L_{1}+L_{4}\]

La nueva fila de \(4\) será \(1(1,2,6)+(-1,1,6)=(0,3,12)\).

Y la matriz equivalente será:

\[\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 6 \\ 0 & -2 & -8 \\ 0 & -5 & -17 \\ 0 & 3 & 12\end{array}\right)\]

Llevamos a cero los elementos de la primera columna debajo del primer pivote de la fila \(1\). ¿Cuál es el próximo paso?

PASO 3: encontrar el pivote de la segunda fila

Como sabemos, el pivote es el primer elemento de la fila que es diferente a cero. En este caso es \(-2\).

Como puedes ver, podemos dividir toda esa fila entre \(2\), logrando que su pivote sea \(-1\). 

\[L_{2} \leftarrow \frac{1}{2} L_{2}\]

Toda la \(2^{a}\) fila también es divisible entre \(2\), entonces tendremos que:

\[\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 6 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & -5 & -17 \\ 0 & 3 & 12\end{array}\right)\]

Listo. La línea no siempre será divisible, pero siempre que podamos "convertir" el pivote en \(1\) o \(-1\), sea multiplicando filas, dividiendo o cambiando de lugar, sirve.

Volviendo a los pasos.

PASO 4: llevar a cero todos los elementos debajo de dicho pivote.

Como el pivote es \(-1\) es sencillo. 

Multiplica por \(-5\) (que es el número en la columna justo debajo) y suma, que no hicimos en el paso \(1\) (solo que estamos usando el pivote de la fila \(2\)). En notación:

\[L_{3} \leftarrow-5 L_{2}+L_{3}\]

La nueva fila \(3\) será \(-5(0,-1,-4)+(0,-5,-17)=(0,0,3)\). 

Finalmente multiplicamos por \(3\) y sumamos con la última fila:

\[L_{4} \leftarrow 3 L_{2}+L_{4}\]

La nueva fila \(4\) será: \(3(0,-1,-4)+(0,3,12)=(0,0,0)\). 

¡Llevamos a cero todos los elementos! ¿Sabes qué significa eso? Que el conjunto de vectores que están en las filas, \((1,2,6),(2,2,4),(3,1,1),(-1,1,6)\) es \(LD\). Además, podemos concluir que: el conjunto es \(LD\) porque el vector \((-1,1,6)\) es \(C L\) de los demás.

Pero, ¿de dónde salió eso?

Sale del hecho de que era la fila del vector que llevamos a cero. Entonces, cuando una fila es llevada a cero en escalonamiento, quiere decir que el vector que se encontraba en la matriz original es una combinación lineal de los vectores de las demás filas, haciendo los vectores fila un conjunto \(\boldsymbol{L D}\).

Además, podemos retirar la fila llevada a cero de la matriz, entonces la matriz escalonada será:

\[\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 6 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]\]

Método de Gauss-Jordan

Este método es una continuación del anterior.

Solo que en lugar de dejar la matriz en forma escalonada, la dejaremos en forma totalmente escalonada (también conocida como escalonada reducida).

“¿Qué es eso?”

Una matriz en su forma totalmente escalonada tiene que obedecer las siguientes condiciones:

     \(\bullet\) Todos los pivotes son \(1\)

     \(\bullet\) Todos los elementos en la columna del pivote (sin contarse así mismo) son cero.  

\[\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 6 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]\]

¡Cuidado con esta última! Porque el pivote puede tener elementos tanto arriba como abajo.

Vamos a usar la misma matriz a modo de ejemplo:

\[\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 6 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]\]

Su forma totalmente escalonada sería:

\[\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

El método de Gauss-Jordan consta de los siguientes pasos:

PASO 1: poner la matriz en su forma escalonada

PASO 2: todos los pivotes deben ser \(1\)

Observa que el pivote de la primera columna es \(1\), solo falta el pivote de la segunda y tercera.

¡Vamos a resolverlo! Haciendo \(L_{2} \leftarrow-L_{2}\) y \(L_{3} \leftarrow \frac{1}{3} L_{3}\):

\[\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

Ahora solo falta transformar \(2\),\(4\) y \(6\) en cero (porque están en las columnas que tienen pivote).

PASO 3: llevar a cero la última columna con pivote, usando el pivote.

Es lo mismo que hicimos para dejarla en su forma escalonada, solo que al revés. 

Tenemos que llevar a cero a \(4\) y \(6\), utilizando el pivote debajo de ellos. 

Haciendo la operación \(L_{2} \leftarrow L_{2}-4 L_{3}\), la nueva línea \(2\) será:

\[\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0\end{array}\right)\]

Ahora debemos llevar al \(6\) a cero , entonces haremos\(L_{1} \leftarrow L_{1}-6 L_{3}\):

\[\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0\end{array}\right)\]

Y obtendremos esta matriz:

\[\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

PASO 4: llevar a cero la última columna con pivote, usando el pivote

Queremos llevar al \(2\) a cero.

Entonces, basta con hacer \(L_{1} \leftarrow L_{1}-2 L_{2}\). Y tendremos que:

\[\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0\end{array}\right)\]

Entonces la matriz será:

\[\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]