Matriz Inversa

Introducción

Ya debes haber estudiado muchos tipos de matrices así como operaciones relacionadas a ella, pero… ¿alguna vez te has preguntado cómo invertir una matriz? Pues existen muchas formas de invertirla. Eso es exactamente lo que veremos en esta ocasión. 

¿Qué es una matriz inversa? Vamos a pensar en un número real. Por ejemplo, \(2\). La inversa de \(2\) es \((2)^{-1}=\frac{1}{2}\). “¿Ohh, entonces \(A^{-1}=\frac{1}{A}\)? ¡No! Lo que acabas de ver no existe. Entonces, te estarás preguntando: ¿qué tiene de especial un número y su inversa?

\[\vdots\]

¿Sabes la respuesta?

Un número multiplicado por su inversa siempre es \(1\)

\[2 \cdot \frac{1}{2}=1\]

Y esa es la propiedad más importante de las matrices inversas. Entonces surgirán las siguientes preguntas: ¿Quién sería el “\(1\)” de las matrices? ¿Qué tiene el \(1\) de especial? Pues todo número multiplicado por \(1\) da como resultado el mismo número:

\[2 \cdot 1=2\]

¿Y qué tipo de matriz hace eso?

\[\vdots\]

¡La matriz identidad!

\[A \cdot I=A\]

Por tanto, la matriz inversa multiplicada por la matriz original da \(1\), es decir, una matriz identidad:

\[A \cdot A^{-1}=I\]

¿Y cualquier matriz admite inversa?

¡NO! Solo las matrices cuadradas admiten inversa.

“¿Eso quiere decir que todas las matrices cuadradas tienen inversa? Más o menos. ¿Recuerdas el escalonamiento? Pues bien, si tiene una matriz cuadrada y quieres saber si es invertible solo tienes que escalonarla. Si alguna fila de la matriz tiene ceros, no es invertible. De lo contrario, si lo es; siempre recordando que debe ser cuadrada.

Otras maneras de saber si una matriz es invertible son:

     \(\bullet\) Si el determinante es \(0\), la matriz no es invertible

     \(\bullet\) Si el determinante es diferente a cero, la matriz es invertible.

Ya sabemos cuando una matriz es invertible, sin embargo, ¿cómo la invertimos?

Invirtiendo matrices \(2 \times 2\)

¿Cómo hallamos la matriz inversa?

Existen algunas maneras. Por ejemplo, tenemos esta matriz: 

\[A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 4\end{array}\right]\]

Ya sabemos que es cuadrada, entonces podemos invertirla. La forma más intuitiva es a través de la definición. La forma que veremos puede ser aplicada en un MATRIZ DE CUALQUIER ORDEN. En este caso será una matriz de orden \(2\).

Vamos a hallar la inversa de:

\[A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}x & y \\ z & w\end{array}\right]\]

Entonces:

\[\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 0 & 4\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll}x & y \\ z & w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\]

Solo queda armar el sistema

\[\left\{\begin{array}{c}2 x+z=1 \Rightarrow 2 x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ 4 z=0 \Rightarrow z=0 \\ 2 y+w=0 \Rightarrow 2 y+\frac{1}{4}=0 \Rightarrow 2 y=-\frac{1}{4} \Rightarrow y=-\frac{1}{8} \\ 4 w=1 \Rightarrow w=\frac{1}{4}\end{array}\right.\]

Por tanto, la matriz inversa será:

\[A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ 0 & \frac{1}{4}\end{array}\right]\]

¡Y así hallamos la matriz inversa! Pero es un poco tedioso, ¿verdad? Por eso es que veremos un “truco” que SOLO SIRVE PARA MATRICES \(2 \times 2\):

Considerando la matriz original \(A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\), podemos decir que la matriz inversa \(2 \times 2\) también puede ser escrita como:

\[A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]\]

Y \(a d-b c\) es lo que conocemos como determinante de la matriz \(A\). Más adelante hablaremos a profundidad sobre los determinantes. Vamos a reescribir:

\[A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)}\left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]\]

Veamos si este truco realmente funciona:

\[\operatorname{det}(A)=8\]

\[A^{-1}=\frac{1}{8}\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\ 0 & 2\end{array}\right] \Rightarrow\]

\[A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ 0 & \frac{1}{4}\end{array}\right]\]

Igual a la solución del sistema.

Pero es un poco complicado recordar todo eso. Por tal razón tenemos unos pasos a seguir:

     \(1.\) Paso 1: cambiar los elementos de la diagonal principal

     \(2.\) Paso 2: multiplicar por \(-1\) los elementos de la diagonal secundaria

     \(3.\) Paso 3: dividir la matriz por el determinante de la matriz original.

Invirtiendo matrices \(3 \times 3\) y órdenes mayores

Ahora que sabemos invertir matrices \(3 \times 3\), vamos a aprender un truco super útil como el de las matrices \(2 \times 2\), solo que este nos servirá para matrices de cualquier orden. Debes saber escalonar.

A modo de ejemplo vamos a trabajar con la siguiente matriz:

\[A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right]\]

No podemos usar el método anterior que aprendimos para matrices \(2 \times 2\), pero podríamos calcularla por definición, armando un sistema lineal de \(9\) ecuaciones que no es nada práctico. Por tal razón es que usaremos el método del escalonamiento (Gauss). Solo debemos seguir los siguiente pasos:

     \(\bullet\) Paso 1: tomar la matriz \(A\) que queremos invertir y colocarla al lado de la identidad \(I\)

\[\left[\begin{array}{lll|lll}1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

     \(\bullet\) Paso 2: escalonar la primera matriz hasta transformarla en identidad, es decir, escalonar hasta su forma reducida y, mientras tanto, aplicar las mismas operaciones en la matriz identidad de al lado. 

\[L_{3} \leftarrow L_{3}-2 L_{1}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -2 & 0 & 1\end{array}\right]\]

\[L_{3} \leftarrow \frac{L_{3}}{-3}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\]

\[L_{2} \leftarrow L_{2}-4 L_{3}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{8}{3} & 1 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\]

\[L_{1} \leftarrow L_{1}-2 L_{3}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{8}{3} & 1 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\]

\[L_{1} \leftarrow L_{1}-L_{2}\left[\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & \frac{7}{3} & -1 & -\frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{8}{3} & 1 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\]

     \(\bullet\) Paso 3: la matriz inversa es la matriz que se formó del lado derecho del algoritmo.

\[A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{7}{3} & -1 & -\frac{2}{3} \\ -\frac{8}{3} & 1 & \frac{4}{3} \\ \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\end{array}\right]\]

En resumen:

Paso 1: tomar la matriz \(A\) que queremos invertir y colocarla al lado de la identidad \(I\)

Paso 2: escalonar la primera matriz hasta transformarla en identidad, es decir, escalonar hasta su forma reducida y, mientras tanto, aplicar las mismas operaciones en la matriz identidad de al lado.

Paso 3: la matriz inversa es la matriz que se formó del lado derecho del algoritmo.

Propiedades de la matriz inversa

Para terminar, algunas propiedades de la matriz inversa:

\(1.\) \(\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}\)

\(2.\) \(\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\)

\(3.\) \((A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}\) ¡ESTA ES MUY IMPORTANTE!