Matrices Elementales

Introducción

Ya debes saber cómo escalonar una matriz, ¿verdad? Además de escalonar una matriz aplicando operaciones elementales en ella, también podemos hacerlo de una forma indirecta. ¿Cómo? Multiplicando matrices:

Por ejemplo, en esta matriz:

\[A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -11 & 0 \\ 2 & -8 & -2 \\ -1 & 7 & 1\end{array}\right]\]

Para escalonarla tenemos que aplicar las siguiente operaciones, en este orden:

\(1.\) \(L_{2} \leftarrow-\frac{1}{2} L_{2}\)

\(2.\) \(L_{2} \leftrightarrow L_{1}\)

\(3.\) \(L_{2} \leftarrow L_{2}+2 L_{1}\)

\(4.\) \(L_{3} \leftarrow L_{3}-L_{1}\)

\(5.\) \(L_{3} \leftarrow L_{3}+L_{2}\)

Si quisiéramos escalonar una matriz solo tendríamos que aplicar esas operaciones, ¿verdad? Sin embargo, la forma más sencilla de hacerlo es multiplicando matrices. ¡¿Pero cómo se hace?!

Sencillo: tenemos que aplicar las operaciones elementales a una matriz identidad.

Matrices elementales

Las matrices elementales son matrices identidad que sufren alguna operación elemental.

Llamemos \(E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}, E_{5}\) a las matrices elementales correspondientes a las operaciones elementales descritas. Entonces, la primera operación corresponde a \(E_{1}\), la segunda a \(E_{2}\), y así sucesivamente… 

La matriz \(E_{1}\) será una matriz identidad con la primera operación aplicada, \(L_{2} \leftarrow-\frac{1}{2} L_{2}\), es decir, multiplicar la segunda columna por \(-\frac{1}{2}\). Asimismo, multiplicaremos la segunda línea de la matriz identidad por \(-\frac{1}{2}\):

\[E_{1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

La matriz \(E_{2}\) será una matriz identidad con la segunda operación aplicada \(L_{2} \leftrightarrow L_{1}\), que sería cambiar la segunda fila de la matriz por la primera:

\[E_{2}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

La matriz \(E_{3}\) será una matriz identidad con la tercera operación aplicada, \(L_{2} \leftarrow L_{2}+2 L_{1}\), donde multiplicamos la primera línea por dos y sumamos con la segunda línea:

\[E_{3}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

Vamos a encontrar las matrices \(E_{4}\) y \(E_{5}\) a través de la matriz identidad con las operaciones indicadas en la introducción. Entonces, las otras matrices serán:

\[E_{4}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]\]

\[E_{5}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]\]

¿Y cómo hallamos la matriz escalonada? Tenemos que multiplicar las matrices por operaciones elementales en el orden indicado. 

OBS: la matriz escalonada es llamada \(U\)

\[E_{5} E_{4} E_{3} E_{2} E_{1} A=U\]

Si hacemos esa multiplicación tendremos que:

\[U=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 4 & 1 \\ 0 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]\]

¿Cómo podríamos saber cuál es la matriz \(A\), si tan solo tuviéramos la matriz escalonada \(U\) y las operaciones aplicadas en la matriz \(A\)? De la ecuación de \(U\), vamos a despejar \(A\). 

\[A=E_{1}^{-1} E_{2}^{-1} E_{3}^{-1} E_{4}^{-1} E_{5}^{-1} U\]

Si tenemos la inversa de las matrices elementales, el problema estaría resuelto.

Antes de preocuparnos por cómo encontraremos estas matrices inversas, ten en cuenta que para despejar \(A\), tuvimos que multiplicar por las matrices inversas a la izquierda. Recuerda que en matrices SI importa el lado por el cual multiplicas las matrices. Haciendo eso el orden se altera, así que ten cuidado. 

Matrices elementales inversas

Para hallar la matriz inversa debes seguir estos pasos:

     \(1.\) Si multiplicas una fila por una constante \(k, L_{i} \leftarrow k \cdot L_{i}\), para hallar la matriz inversa debes dividir la fila \(L_{i}\) de la matriz identidad por\(k \in R\).

     \(2.\) Si permutas dos filas \(L_{i} \leftrightarrow L_{j}, i \neq j\), la matriz inversa será igual a la matriz elemental original.

     \(3.\) Si haces la operación \(L_{i} \leftarrow L_{i}+k \cdot L_{j}\), entonces la matriz inversa será la matriz elemental, solo que \(k\) ha cambiado de signo.

Es decir, en la inversa haremos lo contrario. 

La primera operación es dividir una fila por una constante, entonces en la matriz inversa vamos a multiplicar la fila por una constante, es decir, vamos a hacer \(L_{2} \leftarrow-2 L_{2}\).

\[E_{1}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

En la segunda permutamos dos filas, por lo que la matriz elemental original será la misma: 

\[E_{2}^{-1}=E_{2}\]

Las últimas tres operaciones son de tipo: \(L_{i} \leftarrow L_{i}+k \cdot L_{j}\)

A continuación tendrás las matrices elementales originales:

\[E_{3}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

\[E_{4}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]\]

\[E_{5}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]\]

Observe que en la matriz \(E_{3} k=2\). En la matriz \(E_{4} k=-1\). Y en la matriz \(E_{5} k=1\). Las dos inversas son iguales solo que el signo de \(k\) ha cambiado. Por tanto:

\[E_{3}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\]

\[E_{4}^{-1}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]\]

\[E_{5}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]\]

Finalmente, tomamos esas matrices y hacemos la siguiente operación:

\[A=E_{1}^{-1} E_{2}^{-1} E_{3}^{-1} E_{4}^{-1} E_{5}^{-1} U\]

Y así obtenemos la matriz \(A\) original.