Ecuaciones Cartesianas

Introducción

En esta ocasión hablaremos sobre las ecuaciones cartesianas. ¿Qué es una ecuación cartesiana? Básicamente es:

\[x+3 y=2\]

Ese es un ejemplo de una ecuación cartesiana. ¿Pero cuál es su importancia en el álgebra lineal? Ya lo veremos.

Puntos, rectas y planos son los espacios más utilizados en el álgebra lineal, por tanto, merecen atención especial. ¿Pero qué tiene que ver todo eso con las ecuaciones cartesianas?

Primero, necesito que tengas una mínima “intuición” sobre lo que es una dimensión, más adelante veremos su no tan divertida definición. Pero por ahora, diremos que una dimensión es el “tamaño” del espacio, el cual es representado por un número natural. Pero esto no quiere decir que un plano tiene una dimensión \(2,5\). Ni que la dimensión es negativa.

Decimos que un(a):

     \(\bullet\) Punto - Tiene dimensión \(0\)

     \(\bullet\) Recta - Tiene dimensión \(1\)

     \(\bullet\) Plano - Tiene dimensión \(2\)

Independientemente del espacio en el que esté situado(a)  \(\left. (\mathbb{R},\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{4}, \ldots\right)\).

Además, también decimos que: 

     \(\bullet\) Dimensión de \(\mathbb{R}^{2} \rightarrow \operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^{2}\right)=2\)

     \(\bullet\) Dimensión de \(\mathbb{R}^{3} \rightarrow \operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^{3}\right)=3\)

     \(\bullet\) Dimensión de \(\mathbb{R}^{n} \rightarrow \operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^{n}\right)=n\)

“¿Y cómo podemos representarlos?” ¡Con las ecuaciones cartesianas! Pero cuidado, porque depende del espacio en el que estés. 

Variables Libres y Variables Dependientes

Pero antes de ver cómo representar cada una de esas cosas en cualquier espacio, veamos qué son las variables libres y dependientes. 

Tenemos una ecuación:

\[x+y+z=1\]

Esta caracteriza a un plano \(\mathbb{R}^{3}\), ¿cierto? Podemos despejar \(x\):

\[x=1-y-z\]

En este caso, podríamos haber despejado cualquier otra, pero escogimos \(x\). Como puedes ver, \(x\) no es libre, esta depende de los valores de \(y\) y \(z\), ¿verdad? Entonces, decimos que \(x\) es la variable dependiente, mientras que   \(y\) y \(z\) son las variables libres. 

Otro ejemplo en \(\mathbb{R}^{3}\)

\[y=a x+b\]

Solo estamos restringiendo la variable \(y\) (porque \(y\) está en función de \(x\)), pero todavía falta la variable \(z\). Entonces, para un sistema con esta única ecuación, todavía podemos elegir libremente \(z\) y \(x\).

¿Y qué lección aprendimos al respecto? No porque una variable no esté en el sistema, significa que su valor automáticamente es cero.

Entonces, tenemos una variable dependiente y dos variables libres.

OBSERVACIÓN: ten en cuenta que esta ecuación no representa una recta en \(\mathbb{R}^{3}\).

Recuerda que si estuviera en \(\mathbb{R}^{2}\) tendríamos una variable libre y una variable dependiente (ya que en \(\mathbb{R}^{2}\) no existe la coordenada \(z\)).

Si sumaramos la cantidad de variables libres y dependientes de los ejemplos anteriores, el resultado siempre sería \(3\), pues en los ejemplos estamos trabajando con \(\mathbb{R}^{3}\). Entonces, la suma del número de variables libre y dependientes siempre será igual a la dimensión del espacio. Es decir:

\[n^{o} \space variables \space libres +n^{\circ} variables \space dependentes =\operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \Rightarrow\]

\[n^{\circ} v . l .+n^{o} v . d .=\operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\]

También podemos relacionar otro par de cosas:

     \(\bullet\) El número de variables libres es igual a la dimensión del espacio formado.

     \(\bullet\) El número de variables dependientes es igual al número de ecuaciones cartesianas.

Gracias a esa ecuación podemos entender porqué una recta en \(\mathbb{R}^{3}\) necesita dos ecuaciones cartesianas. 

Como sabemos, la ecuación \(y=a x+b\) en \(\mathbb{R}^{3}\) tiene una variable dependiente \((y)\) y dos libres \((x \text{ y } z)\), por lo que la dimensión del espacio formado es \(2\). Por tanto, la ecuación en \(\mathbb{R}^{3}\) representa un plano, porque la dimensión del espacio es \(2\).

NOTA: nunca olviden que el número de variables libres es igual a la dimensión del espacio formado. 

Ecuaciones cartesianas 

Estamos listos para aprender a representar un(a) punto/recta/plano en los distintos espacios que hemos visto hasta el momento. 

Para \(\mathbb{R}^{2}\):

Punto: en \(\mathbb{R}^{2}\) un punto es definido por dos rectas. Por ejemplo, son necesarias las rectas \(x=5\) y \(y=2\) para determinar el punto \((5,2)\). Recordando que las ecuaciones de las rectas son:

\[\left\{\begin{array}{l}x=5 \\ y=2\end{array}\right.\]

Un punto no posee dimensión, es decir, \(0\), por tanto, necesitamos \(0\) variables libres. Como estamos en \(\mathbb{R}^{2}\), tendremos \(2\) variables dependientes y, por consecuencia, \(2\) ecuaciones. Entonces, cada punto necesitará \(2\) ecuaciones para ser definido en \(\mathbb{R}^{2}\).

Recta: la ecuación de la recta viene dada por \(y=a x+b\) en \(\mathbb{R}^{2}\).

La recta tiene \(1\) dimensión, por tanto, necesitamos \(1\) variable libre. Como estamos en \(\mathbb{R}^{2}\), nos deja con \(1\) variable dependiente, es decir, \(1\) ecuación.

Plano: un plano en \(\mathbb{R}^{2}\) es \(\mathbb{R}^{2}\), sin ninguna restricción. Es decir, necesitamos \(2\) variables libres, lo que nos deja con \(0\) dependientes, es decir, \(0\) ecuaciones.

NOTA: no confundas \(\mathbb{R}^{2}\) con un plano de \(\mathbb{R}^{3}\). \(\mathbb{R}^{2}\) no es equivalente al plano \(xy(z=0)\) de \(\mathbb{R}^{3}\). El plano \(xy\) en \(\mathbb{R}^{3}\) es el conjunto de puntos de \(3\) coordenadas (incluso si la última es cero), mientras que \(\mathbb{R}^{2}\) es el conjunto de puntos de \(2\) coordenadas.

Para \(\mathbb{R}^{3}\):

Punto: en \(\mathbb{R}^{3}\) necesitamos tres datos para un punto, por ejemplo:

\[\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2 \\ z=3\end{array}\right.\] 

El mismo razonamiento que en \(\mathbb{R}^{2}\). Un punto tiene dimensión \(0\), por tanto, tenemos \(0\) variables libres. Sin embargo, como estamos en \(\mathbb{R}^{3}\) eso quiere decir que tendremos \(3\) variables dependientes, es decir, \(3\) ecuaciones.

Recta: una recta tiene \(1\) dimensión, por tanto, necesitamos \(1\) variable libre. Eso nos deja con \(2\) variables dependientes, es decir, \(2\) ecuaciones. 

Plano: la ecuación cartesiana del plano es dada por:

\[a x+b y+c z=d\]

Un plano tiene \(2\) dimensiones, entonces necesitamos \(2\) variables libres. Eso nos deja con \(1\) variable dependientes, es decir, \(1\) ecuación.

NOTA: quizá te estés preguntando que tenemos en \(\mathbb{R}^{3}\) sin una ecuación cartesiana. En este caso tenemos un hiperplano de dimensión \(3\). Cualquier cosa con una dimensión superior a \(2\) será un hiperplano de dimensión \(n\). 

Recordando que no podemos tener un hiperplano de dimensión \(3\) en \(\mathbb{R}^{2}\). \(\mathbb{R}^{2}\) limita el “tamaño” de cualquier cosa dentro de él para un máximo de \(2\). Los mismo para cualquier otro \(\mathbb{R}^{n}\).

Ecuaciones redundantes

Un detalle importantísimo del cual debemos estar atentos a la hora de resolver ejercicios de este tipo son las ecuaciones redundantes. “¡¿Qué es eso?!” Imagina que tenemos el sistema en \(\mathbb{R}^{2}\):

\[\left\{\begin{array}{c}x+y=2 \\ 2 x+2 y=4\end{array}\right.\]

Podrías pensar: “ah, tenemos dos ecuaciones, entonces tenemos dos variables dependientes”. Entonces, nos vamos a la fórmula:

\[n^{o} v . l .+2=2\]

Entonces \(n^{o} v . l\) es \(0\) y eso de ahí es un punto. ¡Sin embargo, no!

Si miras con atención las ecuaciones, verás que una es dos veces la otra. En términos prácticos es como si solo tuvieramos una ecuación. Por tanto, el número de variables libres es \(1\) y se trata de una recta. 

De forma general, si una ecuación es combinación lineal de las otras podemos desconsiderarla del sistema. Por ejemplo:

\[\left\{\begin{array}{cc}x+y=2 & (I) \\ y=1 & (I I) \\ x+3 y=4 & (I I I)\end{array}\right.\]

Fijate que la tercera viene dada por:

\[(I I I)=(I)+2(I I)\]

En situaciones como esta diremos que la ecuación \((I I I)\) es una ecuación redundante, es decir, no aporta nada al sistema. Por tanto, no limita a ninguna de las variables y no se contabiliza en la ecuación de variables libres y dependientes. 

¡Y eso es todo amigos, espero que hayan entendido todo el contenido, no se olviden de seguir practicando en la sección de ejercicios, hasta la próxima!