Ecuaciones Cartesianas y Paramétricas

Introducción

Ya debes estar familiarizado con las ecuaciones cartesianas, ¿verdad? Bien, vamos a repasar la parametrización. Primero que nada, ¿sabías que una parametrización está constituida por un punto \(+\) vector director? Una parametrización puede estar compuesta por más de un vector director. 

Entonces te estarás preguntando, ¿por qué se llama parametrización? Porque los vectores directores siempre estarán acompañados de parámetros reales. Mira el ejemplo:

Para la recta \(y=x-1\), la parametrización es:

\[r=\{(0,-1)+t(1,1) \mid t \in \mathbb{R}\}\]

Lo que hicimos fue escribir un conjunto, que de ecuación no tiene nada. Pero decimos que esa es la parametrización de la recta \(y=x-1\). De esta forma podemos representar todos los vectores de la ecuación cartesiana solamente con ese parámetro real. 

¿Pudiste saber cuales son los puntos y los vectores directores de esa parametrización?

El punto siempre será el que no tenga un parámetro (o escalar real) multiplicando mientras que el vector director siempre será el que tenga un escalar real (parámetro) multiplicando.

En este caso, el vector \((0,-1)\) es el punto y \((1,1)\) el vector director. 

Entonces estarás pensando: ¿cómo con un vector y un punto podremos crear una recta entera? Lo interesante ocurre con \(t\), esta no es una constante. El conjunto es para cualquier \(t \in \mathbb{R}\). Eso quiere decir que tenemos que ir sustituyendo todos los valores posibles de \(t\). Es decir, si tomamos todos los vectores posibles:

\[(0,-1)+0(1,1)=(0,-1)\]

\[(0,-1)+1(1,1)=(1,0)\]

\[(0,-1)+2(1,1)=(2,1)\]

\[\vdots\]

¡Así tendremos toda la recta! Pero no puedes olvidar el punto al asignar los valores para \(t\) porque es parte de la recta. Ahora empezaremos a llamar al punto como: “vector desplazamiento”. Porque este es responsable de “sacar” la recta del origen. Entonces, lo que haremos es crear infinitos vectores partiendo de \((0,-1)\) y juntandolos todos tendremos una recta. Mira el gráfico:

Lo que hicimos fue trazar los vectores directores a partir de \((0,-1)\). El conjunto de esos puntos nos dará la recta deseada.

Recta y Plano

Sólo diré dos cosas brevemente. Hace segundos vimos un ejemplo de parametrización de la recta. Bien, CUALQUIER RECTA (sea en \(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{4}\)) tendrá la forma de la parametrización anterior. Es decir:

Una recta está formada por: punto \(+ \space 1\) vector (no nulo) director:

\[r=\{w+t v \mid t \in \mathbb{R}\}\]

Un plano está formado por: punto  \(+ \space 2\) vectores (no nulos) directores:

\[\pi=\{w+t v+s u \mid t, s \in \mathbb{R}\}\] 

Lo mismo para la recta. Esto aplica para \(\mathbb{R}^{n}\). ¿Y si por ejemplo, \(v=(1,0,0)\) y \(u=(2,0,0)\) formaran un plano?

Esto es lo que va a ocurrir, tendremos:

\[w+t(1,0,0)+s(2,0,0) \Rightarrow\]

\[w+t(1,0,0)+2 s(1,0,0) \Rightarrow\]

\[w+(t+2 s)(1,0,0)\]

¿Notaste que al final solo teníamos un vector? Podemos tratar al parámetro anterior de la siguiente manera:

\[c=t+2 s, t, s \in \mathbb{R}\]

Siendo así, se trata de una recta. 

Entonces, podemos concluir que esos vectores no pueden ser una \(CL\) del otro. Si fuera un espacio generado por \(3\) vectores (lo que llamamos hiperplano) sería lo mismo. Ninguno de ellos puede ser combinación lineal del otro. 

¿Cómo se parametriza?

Hasta ahora solo hemos hablado sobre el concepto de la parametrización, sin embargo, ¿cómo armamos la ecuación paramétrica de la recta o el plano?

Vamos a dividirlo en dos casos:

Parametrizando a partir de vectores y puntos:

Si te piden que la parametrización del plano pase por los puntos \((1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)\), ¿cómo lo harías?

Ejemplo: recuerda que un plano está formado por: punto \(+ \space 2\) vectores directores.

Entonces, necesitamos esos dos vectores. ¿Recuerdas cómo se calcula un vector? Simple, extremo \(-\) origen. Entonces, vamos a hallar dichos vectores a partir de los puntos:

\[v=(1,0,0)-(0,1,0)=(1,-1,0)\]

\[u=(1,1,1)-(0,1,0)=(1,0,1)\]

¿Notaste que restamos del mismo vector? Es así como podemos asegurarnos de que ambos están partiendo del origen. Entonces, el vector desplazamiento \(w\) será \((0,1,0)\):

Siendo así el plano es:

\[(0,1,0)+t(1,-1,0)+s(1,0,1), s, t \in \mathbb{R}\]

Para la recta es lo mismo, pero será un único vector director. Otra conclusión es que con \(3\) puntos tenemos un plano mientras que con \(2\) una recta. 

Parametrizando a partir de ecuaciones cartesianas:

Sabemos que esta ecuación se refiere a un plano en \(\mathbb{R}^{3}\):

\[x+y+z=0\]

¿Acaso no es lo mismo? ¿Y si quisiéramos pasarlo a la forma paramétrica?

Solo tenemos que hacer lo siguiente:

Paso 1: despejar las variables: 

\[x+y+z=0 \Rightarrow\]

\[x=-y-z\]

NOTA: ¿Y si quisiéramos despejar \(y\) o \(z\)? Daría igual. Existen infinitas formas de parametrizar espacios, sean rectas, planos, etc. Así que si tu respuesta no coincide con el ejemplo no te asustes, porque no necesariamente está mal.

Paso 2: sustituir en un vector genérico del espacio, en este \(\mathbb{R}^{3}\):

\[(x, y, z)=(-y-z, y, z)=y(-1,1,0)+z(-1,0,1)\]

Ahora podemos dejarlo en función de \(y\), \(z\) o sustituir por cualquier otra letra.

\[y=t\]

\[z=s\]

\[\pi=\{t(-1,1,0)+s(-1,0,1) \mid t, s \in \mathbb{R}\}\]

Es decir, la parametrización para el plano dado en el enunciado es:

\[t(-1,1,)+s(-1,0,1), t, s \in \mathbb{R}\]

Observa que, en este caso, el plano no tiene vector desplazamiento y, por tanto, está en el origen.

NOTA: en álgebra lineal verás muchos casos como este, en donde el plano o la recta no tienen vector desplazamiento. 

Pasando de parametrizaciones a ecuaciones cartesianas

¡Hora de hacer el proceso inverso! Tenemos esta parametrización:

\[t(1,0,1)\]

¿Cómo hallamos sus ecuaciones cartesianas?

El primer paso es igualar a un vector genérico del espacio:

\[(x, y, z)=(t, 0, t)\]

Igualando las coordenadas:

\[\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=0 \\ z=t\end{array}\right.\]

Vamos a despejar todos los parámetros, en este caso, solo tenemos \(t\), y sustituir siempre que se pueda:

\[\left\{\begin{array}{c}x=t \\ y=0 \\ z=t \Rightarrow z=x \Rightarrow z-x=0\end{array}\right.\]

Y luego tomar lo que queda sin los parámetros, en este caso:

\[\left\{\begin{array}{c}y=0 \\ z-x=0\end{array}\right.\]

Bien, esas dos son las ecuaciones cartesianas. Siempre podemos tener más de una ecuación, así que no te preocupes si surgen dos o tres ecuaciones en el problema que estés resolviendo. 

Hagamos otro ejemplo:

\[s(1,0,0)+t(0,0,1)\]

El primer paso es igualar a un vector genérico:

\[(x, y, z)=s(1,0,0)+t(0,0,1)\]

El segundo es igualar las coordenadas:

\[\left\{\begin{array}{l}x=s \\ y=0 \\ z=t\end{array}\right.\]

¿Notaste que no podemos sustituir los parámetros \(s, t\)? Esto quiere decir que \(x\) y \(z\) pueden asumir cualquier valor, puesto que \(s\) y \(t\) también pueden. Por tanto, la ecuación es:

\[y=0\]

NOTA: ¡Recuerda! Que \(x\) y \(z\) no aparezcan en la ecuación no quiere decir que estas no tengan valor. Si la variable vale cero, necesitarás una ecuación para ella, así como estamos haciendo con \(y\) en este caso. 

Veamos un último ejemplo:

Halle la ecuación cartesiana de la siguiente parametrización:

\[(1,1,4,0)+t(1,0,2,0)+s(1,1,0,0)\]

El espacio se ha desplazado, ahora estamos en \(\mathbb{R}^{4}\).

Paso 1: igualar a un vector genérico:

\[(x, y, z, w)=(1,1,4,0)+t(1,0,2,0)+s(1,1,0,0) \Rightarrow\]

\[(x, y, z, w)=(1+t+s, 1+s, 4+2 t, 0)\]

Paso 2: igualar las coordenadas y despejar los parámetros.

\[\left\{\begin{array}{c}x=1+t+s \Rightarrow x=1+\frac{z}{2}-2+y-1 \Rightarrow x=\frac{z}{2}+y-2 \\ y=1+s \Rightarrow s=y-1 \\ z=4+2 t \Rightarrow 2 t=z-4 \Rightarrow t=\frac{z}{2}-2 \\ \qquad w=0\end{array}\right.\]

Paso 3: tomar solamente las ecuaciones sin los parámetros:

\[\left\{\begin{aligned} x=& \frac{z}{2}+y-2 \\ w &=0 \end{aligned}\right.\]

Resumen… 

En esta ocasión hablamos sobre la parametrización del plano y la recta, pero no solo estos espacios pueden ser presentados con una forma paramétrica. Otros espacios, de dimensiones superiores, también pueden. 

La parametrización se hace de la misma forma, con el punto, parámetros y vectores directores, la diferencia será la cantidad de parámetros y vectores directores, que será igual a la dimensión del espacio representado. Es decir, un espacio de dimensión \(3\), por ejemplo, tendrá \(3\) parámetros en la ecuación paramétrica y junto a ellos, \(3\) vectores directores. 

Veamos los pasos:

Paso 1: igualar a un vector genérico del espacio en cuestión.

Paso 2: sumar todo e igualar coordenada a coordenada, armando el sistema lineal.

Paso 3: en el sistema lineal, despejar los parámetros y sustituir en la otras ecuaciones de ser posible.

Paso 4: tomar solamente las ecuaciones SIN los parámetros originales. Esas serán las ecuaciones cartesianas.

¡Eso es todo amigos, vamos a los ejercicios!