Espacios Generados

Interpretación geométrica

En el tema anterior aprendimos sobre las ecuaciones paramétricas y cartesianas, a continuación hablaremos sobre lo que hacen. Veamos la ecuación de la recta \(r\) y el plano \(II\):

\[r=\{(0,-1,1)+t(1,-2,1) \mid t \in \mathbb{R}\}\]

\[\Pi=\{(2,1,0)+k(-1,-2,2)+s(-2,3,2) \mid k, s \in \mathbb{R}\}\]

Se puede ver en la recta \(r\) que el vector \((1,-2,1)\) es el vector director, es decir, es responsable de darle dirección a la recta, por ello, podemos decir que este genera la recta \(r\), pero no solo él. La recta es generada por él junto con todos sus múltiplos, porque todos son \(t \in \mathbb{R}\). Y el vector desplazamiento \((0,-1,1)\) no influencia la dirección o “tamaño” de la recta, pues solo la saca del origen. 

Por otro lado, mirando el plano \(II\), este no posee un vector generador. Podemos decir que ese plano es un espacio generado por \((-1,-2,2)\) y \((-2,3,2)\). Nuevamente, el vector desplazamiento \((2,1,0)\) no influencia el “tamaño” del plano, quienes lo hacen son los parámetros \(k\) y \(s\). ¿Pero entonces todos los generadores son múltiplos de \((-1,-2,2)\) y \((-2,3,2)\)? Vamos a decir que \((-1,-2,2)\) de \(v_{2}\) y \((-2,3,2)\) de \(v_{3}\), y veamos el gráfico:

Los vectores \(v_{2}\) y \(v_{3}\) generan las rectas \(k v_{2}\) y \(s v_{3}\) respectivamente. Y sabemos que estos vectores también generan el plano \(II\). Volvamos a la pregunta: ¿qué significa ser generado por todos los múltiplos de \(v_{2}\) y \(v_{3}\)?

Ten en cuenta que si tomamos \(1 v_{2}+1 v_{3}\), es decir, \((-1,-2,2)+(-2,3,2)\) tendríamos el vector \((-3,1,4)\), uno de los vectores azules del gráfico anterior, sin embargo, aún no sería suficiente. Entonces, es necesario tomar infinitos múltiplos de \(v_{2}\) y sumar con infinitos múltiplos de \(v_{3}\), en pocas palabras una COMBINACIÓN LINEAL. Por tanto, simplemente estamos haciendo infinitas combinaciones de \(v_{2}\) y \(v_{3}\), por ejemplo: \(1 v_{2}+2 v_{3} ; 3 v_{2}+2 v_{3}\); etc.

Entonces, haríamos eso hasta “llenar” el plano con todos los vectores azules (recuerda que es infinito). “Pero, ¿simplemente podemos tomar los múltiplos así?” ¡Si! Porque están representados en la ecuación por los parámetros multiplicando los vectores directores.

Por tanto, en realidad, el plano está formado por \(k v_{2}+s v_{3}\).

Definición

Ya sabemos que es un espacio generado, sin embargo, veamos su definición formal:

Básicamente, un espacio generado es la combinación lineal de un grupo de vectores.

Antes de continuar, veamos un par de detalles que vale la pena resaltar:

NOTA 1: también podemos denotar el espacio generado por el conjunto \(\left\{\mathrm{v}_{1}, \ldots, \mathrm{v}_{\mathrm{k}}\right\}\)  como \(\left\langle\mathrm{v}_{1}, \ldots, \mathrm{v}_{\mathrm{k}}\right\rangle\).

NOTA 2: \(\text {span}\) siempre tendrá espacios generados en el origen. Podemos ver esto al notar que no hay vector desplazamiento cuando hacemos el \(\text {span}\) de algún conjunto. Sólo aparecen parámetros multiplicados por vectores.

Espacios Generados Diferentes

¿Existe un plano generado por \(\operatorname{span}\{(1,0,0),(2,0,0)\}\)?

Si hacemos \(a(1,0,0)+b(2,0,0)\), podemos ver que solo estamos sumando los múltiplos de vectores en la misma dirección y de esa forma no podemos “llenar” el plano. Entonces, podríamos resumir el \(\text {span}\) a solo:

\[\operatorname{span}\{(1,0,0)\}, \mathrm{o}\]

\[\operatorname{span}\{(2,0,0)\}\]

Y podemos concluir que:

\[\operatorname{span}\{(1,0,0)\}=\operatorname{span}\{(2,0,0)\}=\operatorname{span}\{(1,0,0),(2,0,0)\}\]

Esto ocurre porque tenemos un vector que es la combinación lineal del otro (en este caso, solo se trata de dos vectores y podemos decir que son múltiplos).

Veamos otro ejemplos con más vectores:

Tenemos el siguiente espacio generado:

\(\operatorname{span}\{(1,0,0),(2,2,0),(0,1,0)\}\)

Observa que el vector del medio es:

\[(2,2,0)=2(1,0,0)+2(0,1,0)\]

Es decir, es una \(CL\) de los otros dos vectores, entonces podemos desconsiderarlo del espacio generado y, por tanto, no influencia en nada la “forma” del espacio generado. Solo debes seguir el razonamiento de la parametrización. 

Entonces, cuando tengamos un vector que es una \(C L\) de los demás, podemos sacarlo del espacio generado.

Vectores pertenecientes a un espacio generado

Ejemplo I:

¿Será que el vector \((0,2,3)\) pertenece al plano \(\operatorname{span}\{(2,0,0),(0,1,1)\}\)?

Como un espacio generado es la combinación lineal de un grupo de vectores, podemos cambiar la pregunta a: ¿será que el vector \((0,2,3)\) es una combinación lineal de \(\{(2,0,0),(0,1,1)\}\)?

Solo tenemos que hacer:

\[(0,2,3)=a(2,0,0)+b(0,1,1) \Rightarrow\]

\[(0,2,3)=(2 a, b, b) \Rightarrow\]

\[\left\{\begin{array}{l}0=2 a \Rightarrow a=0 \\ \qquad \begin{array}{l}2=b \\ 3=b\end{array}\end{array}\right.\]

¿Viste que encontramos dos valores para \(b\)? Esto quiere decir que el sistema es imposible y no admite solución, no tiene ningún valor real para \(b\) que satisfaga la ecuación. Siendo así, el vector \((0,2,3)\) no pertenece al espacio generado.

Ejemplo II:

¿Será que \((0,0,7)\), por ejemplo, pertenece a \(\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\)? O, desde un enfoque geométrico, ¿el vector \((0,0,7)\) está contenido en el plano generado por \((1,0,0),(0,1,0)\)?

Pues bien, para eso, \((0,0,7)\) debe ser de la forma \(a(1,0,0)+b(0,1,0)\). Lo cual es imposible, porque el último componente del vector debería ser \(a \cdot 0+b \cdot 0=0\), cuando en realidad el último componente es \(7\). Por tanto, \((0,0,7)\) no pertenece al espacio generado. Podemos ver que el vector \((0,0,7)\) no pertenece al plano generado por \((1,0,0)\) y \((0,1,0)\). 

Ejemplo III:

Queremos saber si una recta generada por el vector \((0,1,1)\) pertenece al plano \((0,1,1)+\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,2)\}\). Ten en cuenta que si es una recta, nos referimos a \(\operatorname{span}\{(0,1,1)\}\). “¿Cómo vamos a saber si un \(span\) pertenece al otro? Tenemos que ver el vector director, porque él pertenece al plano, al igual que todos sus múltiplos”. 

¡INCORRECTO! Mira porqué:

Vamos a fijarnos solamente en el vector director de la recta. Cuando decimos que un vector pertenece al plano, me imagino que esta es la imagen que se te viene a la mente:

En temas anteriores dijimos que el vector es la punta de la flecha. Por tanto, cuando ocurre un caso como el del gráfico anterior, decimos que el vector es paralelo al plano.

Pero el vector desplazamiento sólo toca un punto del plano, ¿no?

Y como la punta de la flecha es el vector, entonces pertenece al plano.

Ahora fíjate en lo siguiente, el vector director de la recta es exactamente el vector desplazamiento del plano. Por tanto, si hubiéramos probado \((0,1,1) \in(0,1,1)+\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,2)\}\) de hecho sería cierto, pero como se trata de una recta, los otros múltiplos también deben estar dentro del plano. 

Pero como el vector toca el plano en un solo punto, cualquier múltiplo que multipliques aumentará o disminuirá el vector y, como consecuencia, atravesará o no tocará el plano. Por tanto, ten cuidado cuando se trata de espacios desplazados.

Por suerte, cuando se trate de espacios no desplazados esto no será necesario, porque si pertenecen también serán paralelos al espacio, ya que ambos tienen que pasar por el origen. Nunca será posible tocar el espacio. 

¡Y eso es todo compañeros, no olviden pasar por la sección de ejercicios para seguir practicando!