Análisis de la Solución de un Sistema Lineal

Sistemas lineales con solución

En esta ocasión analizaremos las soluciones de los sistemas lineales. Y no, no te preocupes, no vamos a calcular nada.

Tenemos este sistema:

\[\left\{\begin{array}{l}x+y=2 \\ 2 x+y=3\end{array}\right.\]

Escribir ese sistema es lo mismo que hacer la siguiente combinación lineal \((C L)\):

\[\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right] x+\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right] y=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right]\]

Bien, pero ¿por qué lo escribí así? Porque de esa forma podemos ver si un sistema tiene solución o no con esa \(CL\). Esa es una \(CL\) de dos vectores \((1,2),(1,1)\) con los coeficientes \(x, y\).

Vamos a ver si \((2,3)\) es \(CL\) de los vectores mirando los coeficientes y viendo si podemos escoger escalares que satisfagan la ecuación. 

Si escogemos \(x=y=1\):

\[(1,2)+(1,1)=(2,3)\] 

¡Funcionó! ¡Eso significa que el sistema tiene solución!

Genial, pero… ¿por qué funcionó? Porque estamos probando si el vector \((2,3)\) pertenece al espacio generado por los vectores coeficientes del sistema lineal. Los vectores coeficientes son los que usamos para hacer la \(CL\) de \((1,1),(1,2)\). Si el vector pertenece a dicho espacio, entonces tiene solución, de lo contrario, no tiene.

Soluciones de Sistemas Lineales Homogéneos

En el tema anterior vimos que los sistemas lineales homogéneos tiene la forma de \(A x=0\). Vamos a formalizar algunas propiedades, que hemos visto, de este tipo de sistema:

     \(\bullet\) La solución trivial siempre es la solución del sistema lineal homogéneo. Entonces, cuando este tiene una solución ÚNICA, esta siempre será la solución trivial. La palabra trivial en matemática tiene que ver con el \(0\).

\[x=(0,0, \ldots, 0)\]

     \(\bullet\) Si la solución NO ES ÚNICA, esta tiene infinitas soluciones. Esta puede ser expresada como un espacio generado. Entonces, es imposible tener DOS soluciones como la solución del sistema lineal homogéneo. 

NOTA: observe que al escribir \(A x=0\), estamos abusando de la notación, porque, de hecho, ese "0" es el vector nulo.

Notación: a partir de ahora llamaremos a la solución del sistema homogéneo como \(S_{o}\). Si conocemos una de sus soluciones (es decir, uno de los vectores que pertenezcan al espacio generado), decimos que \(x \in S_{o}\). Y eso implica que \(A x=0\).

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: ¿Si \(x_{1}, x_{2} \in S_{o}\), entonces \(\left(x_{1}+x_{2}\right) \in S_{o}\)?

Comencemos con la tesis. Sea \(A\) la matriz que tiene como solución del sistema lineal homogéneo \(S_{o}\). Siendo así:

\[A\left(x_{1}+x_{2}\right)=0 \Rightarrow\]

\[A x_{1}+A x_{2}=0\]

Aplicando la hipótesis. Si \(x_{1}, x_{2} \in S_{o}\), entonces estas son soluciones del sistema lineal homogéneo y, por tanto:

\[A x_{1}=0\]

\[A x_{2}=0\]

Sustituyendo esto en la fórmula:

\[A x_{1}+A x_{2}=0 \Rightarrow\]

\[0+0=0\]

Por tanto, como llegamos a una oración verdadera, lo anterior es correcto.

Solución particular de sistemas lineales no homogéneos

Ya sabemos que los sistemas lineales no homogéneos son del tipo \(A x=b\). Entonces, si decimos que \(v_{o}\) es una solución particular del sistema \(A x=b\), sabemos que:

\[A v_{0}=b\]

NOTA: recuerda que no necesariamente existe una ÚNICA solución particular, pueden existir infinitas. 

Notación: a partir de ahora llamaremos al conjunto de la solución particular (es decir, del sistema \(A x=b\)) como \(S_{b}\). Entonces, si \(v_{o} \in S_{b}\), entonces \(v_{o}\) es una solución particular del sistema lineal.

Ejemplo: sea \(v_{o}, w_{o} \in S_{b}\), ¿entonces \(\left(v_{o}+w_{o}\right) \in S_{b}\)?

Bien, podemos ver que se parece a lo que hemos hecho. Siendo así, vamos a comenzar por la tesis:

\[A\left(v_{o}+w_{o}\right)=b \Rightarrow\]

\[A v_{o}+A w_{o}=b\]

Utilizando la hipótesis, podemos ver que:

\[A v_{o}=b\]

\[A w_{o}=b\]

De esta manera:

\[A v_{o}+A w_{o}=b \Rightarrow\]

\[b+b=b \Rightarrow\]

\[2 b=b\]

Como sabemos que \(2 b \neq b\), entonces la implicación es falsa. Sin embargo, vale la pena resaltar que para que \(2 b=b\), debemos tener \(b=0\). Por tanto, si la suma de dos soluciones particulares pertenece a un conjunto solución, dicho conjunto debe ser el del sistema homogéneo asociado,

Pero, ¿qué es un sistema lineal homogéneo asociado?

Es aquel formado por la misma matriz del sistema \(A x=b\), pero el vector \(b\) es sustituido por el vector nulo, es decir:

\[A x=0\]

Solución General de un sistema lineal

Ya hemos hablado sobre todos los tipos de soluciones que tienen los sistemas lineales, pero,…¿cómo hallamos la solución general del sistema \(A x=b\)?

La solución general de dicho sistema lineal es la solución del sistema lineal homogéneo + la solución del sistema lineal no homogéneo.

Siendo \(S\) la solución general del sistema lineal, podemos decir que \(S\) es:

\[S=v_{0}+S_{o}\]

Recuerda que tanto \(v_{o} \in S_{b}\) como \(S_{b}\) es un conjunto de soluciones (pueden haber infinitas soluciones particulares).

Solución Única e Infinitas Soluciones

Ya sabemos cuándo el sistema lineal tiene solución, pero cómo podemos saber si la solución es única o no?

La respuesta a esa pregunta está estrechamente relacionada con las ecuaciones cartesianas y las variables libres. Tenemos el siguiente sistema:

\[\left\{\begin{array}{c}x+y-2 z=-2 \\ x-y=0 \\ 2 x+y-3 z=-3\end{array}\right.\]

Veamos qué espacio representa este sistema de ecuaciones…

Tenemos \(3\) ecuaciones y \(3\) variables, nos falta saber si alguna ecuación es una combinación lineal de las otras. Para ello tenemos escalonar, por tanto, debemos convertir el sistema en una matriz aumentada:

\[\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & -2 & -2 \\ 1 &-1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -3 & -3\end{array}\right]  \underset{\text { escalonada }}{\Longrightarrow}\left[\begin{array}{lll|l}1 & 1 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]

Una fila entera de \(0\). Eso significa que la ecuación que estaba en ella es una combinación lineal de las demás.

Por tanto, tenemos \(2\) ecuaciones linealmente independientes \((LI)\) y \(3\) variables, por lo que tendremos \(1\) variable libre. Como el número de variables libres es igual a la dimensión del espacio formado, sabemos que este sistema representa una dimensión de espacio \(1\), es decir, una recta.

Una recta es la unión infinita de puntos, por tanto, la solución a este sistema no será única. 

No tenemos que resolver todo el sistema para saber que la solución es única, solo basta con escalonar para hallar el número de variables libres que serán la dimensión del espacio. Si el número es diferente de cero, el sistema tiene infinitas soluciones. Si es cero, significa que el espacio representado tiene dimensión \(0\), un punto, por tanto, una solución única.

Sistemas lineales sin solución

¿Y si el sistema no tiene solución? Por ejemplo, si agregamos una ecuación al sistema del inicio del tema:

\[\left\{\begin{array}{c}x+y=2 \\ 2 x+y=3 \\ x=2\end{array}\right.\]

Como puedes ver, está formado por \(3\) ecuaciones y dos incógnitas; además podemos hallar \(x, y\) con las dos primeras ecuaciones (en este caso, sabemos que con ellas \(x=y=1\)). ¿Y qué hay de la tercera? En la tercera tenemos dos valores para \(x\) al mismo tiempo. Esto quiere decir que el sistema es imposible. 

Entonces, si el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas tenemos que ver cuáles ecuaciones están sobrando. Si satisfacen los resultados obtenidos, el sistema es posible, de lo contrario, imposible.