Núcleo e Inyectividad de una Matriz

Introducción

¿Recuerdas el sistema lineal homogéneo? En esta ocasión te darás cuenta que es super importante. Y además, le daremos un nombre “especial” a su solución.

Núcleo o Espacio nulo

El núcleo, o espacio nulo, de una matriz \(A\) (denotada por \(\mathrm{Nuc}(A)\)) es el conjunto de soluciones del sistema homogéneo. 

\[A x=0\]

¿Eso te recuerda algo? ¿El término \(A x\) no te recuerda a un sistema lineal? ¿Y qué ocurre cuando lo igualamos a cero? Decimos que es un sistema lineal homogéneo. “Entonces, ¿para calcular el núcleo de una matriz solo tenemos que hallar la solución de su sistema lineal homogéneo?” ¡EXACTAMENTE!

Ejemplo 1:

Calcule el núcleo de la matriz \(A\):

\[A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]\]

Tenemos que resolver el sistema:

\[A x=0\]

Siendo:

\[x=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right]\]

\[\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right]=0 \Rightarrow\]

\[\left\{\begin{array}{l}\qquad x_{1}=0 \\ 2 x_{1}+x_{2}=0 \Rightarrow x_{2}=0\end{array}\right.\]

Entonces, el núcleo de la matriz es el vector solución \(\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right]\)

\[\operatorname{Nuc}(A)=\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right]\right\}\]

Ejemplo 2:

Calcule el núcleo de la matriz \(A\):

\[A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right]\]

Hallar el núcleo simplemente es hallar la solución del sistema homogéneo:

\[\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=0 \Rightarrow\]

\[\left\{\begin{array}{l}x+2 y=0 \Rightarrow x=-2 y \\ 2 x+4 y=0 \Rightarrow x+2 y\end{array}\right.\]

Como la segunda ecuación era igual a la primera, podemos eliminarla. Siendo así, el núcleo es:

\[(x, y)=(-2 y, y)=y(-2,1)\]

\[\operatorname{Nuc}(A)=span\{(-2,1)\} \space \text { o } \space \operatorname{Nuc}(A)=\langle(-2,1)\rangle\]

¿Recuerdas que el sistema homogéneo sólo puede tener la solución trivial (vector nulo) o infinitas soluciones (un espacio generado)? Es exactamente lo que vimos ambos ejemplos. En el primer caso, la solución del núcleo es \(0\), mientras que en el segundo es mayor que \(0\), además podemos denominar a la dimensión del núcleo como nulidad.

Inyectividad

Fijémonos en el caso del ejemplo \(1\). Cuando solamente encontramos el vector nulo decimos que la matriz es inyectiva. Normalmente este es un caso especial. 

Me imagino que estarás pensando: “¿Pero la inyectividad no es la propiedad de las funciones?”

\[f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) \Rightarrow x_{1}=x_{2}\]

Si, pero en realidad una matriz también puede ser considerada una función, es por eso que podemos aplicar todas esas propiedades. Pero comprobar esa implicación sería super aburrido, es por eso que existe un teorema.

Este enuncia que si el núcleo es el vector nulo o si su dimensión es \(0\), entonces la matriz es inyectiva.

Teorema: si \(\operatorname{Nuc}(A)=\{0\}\), entonces la matriz es inyectiva. 

Cabe resaltar que la matriz solo puede ser inyectiva si el número de filas es mayor o igual al número de columnas. Cuidado con el “puede”, este quiere decir que toda matriz inyectiva obedece a esto, pero no toda matriz que obedece a esto es inyectiva.

Esto se debe a que en este caso el número de ecuaciones es mayor o igual al número de variables, dando la posibilidad (no es cierto porque no sabemos si las ecuaciones son \(LI\)) de tener \(0\) variables libre y por tanto una dimensión de espacio nula como solución. 

Relacionando esto con la solución del sistema asociado a la matriz tenemos que cuando \(\operatorname{Nuc}(A) \neq 0\) la matriz no es inyectiva y, por tanto, el sistema \(A x=b\) no tiene solución única. Ten en cuenta que nada impide que este no tenga solución. Pero en caso de que tenga, no será única. 

Además, existe un truco que te ayudará:

Sea \(A\) una matriz cuadrada. Los hechos a continuación son equivalentes:

     \(\bullet\) \(\operatorname{Nuc}(A) \neq\{0\}\)

     \(\bullet\) \(\operatorname{dim}(N u c(A)) \neq 0\)

     \(\bullet\) \(A\) no es inyectiva

     \(\bullet\) Columnas (o filas) de \(A\) son \(LD\)

     \(\bullet\) \(A\) no es reversible