Imagen y Sobreyectividad de una Matriz

Espacio columna o Imagen

Decimos que la imagen de una matriz es igual a su espacio columna. Pero… ¿Qué es el espacio columna?

Espacio columna: es el espacio generado por los vectores columnas de dicha matriz

Por ejemplo, el espacio columna o imagen de la matriz \(A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]\) es el espacio generado:

\[\operatorname{Im}(A)=span\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]\right\}\]

o

\[\operatorname{Im}(A)=span\{(1,2),(0,1)\}\]

Y como esos dos vectores columnas son \(LI\) una posible base es \(\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]\right\}\).

Ok, eso fue fácil ... Y si la matriz fuera mucho más grande, ¿cómo encontrarías una base para la imagen?

Existe un método super práctico. ¿Recuerdas que para saber si un conjunto de vectores es \(LI\) o \(LD\) solo tenemos que ponerlos en la fila de una matriz y escalonarlos hasta que la fila sea cero?

Haremos exactamente eso. Sin embargo, queremos saber una base para los vectores columna, por lo que no podemos escalonar en filas; si quieres escalonar en columnas, ¡adelante! Pero personalmente no te recomendaría hacerlo.

Entonces, sabemos que no podemos escalonar en filas para hallar la base del espacio columna. Pero, un momento… ¿Qué operador del álgebra lineal transforma las columnas en filas? ¡LA TRANSPOSICIÓN!

Consejo: para hallar una base para la imagen de una matriz \(A\), basta con escalonar \(A^{T}\) (la transpuesta de \(A\))

Ejemplo: 

Encuentre una base para la imagen de \(A=\left[\begin{array}{cccc}2 & 2 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right]\)

Tenemos que escalonar la transpuesta:

\[A^{T}=\left[\begin{array}{cccc}2 & -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]

¡Hazlo tú!

\[\vdots\]

\[\vdots\]

\[\vdots\]

\[\vdots\]

¿Listo?

Si escalonaste, debiste haber encontrado \(\left[\begin{array}{cccc}2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -\frac{3}{2} & 1\end{array}\right]\).

Pero entonces, ¿cuál es la base de la imagen?

La base de la imagen es \(\left\{\left[\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0 \\ \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} \\ 1\end{array}\right]\right\}\)

Es decir,

\[\operatorname{Im}(A)=span\left\{\left[\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0 \\ \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} \\ 1\end{array}\right]\right\}\]

o

\[\operatorname{Im}(A)=span\left\{(2,-1,1,0),\left(0, \frac{3}{2},-\frac{3}{2}, 1\right)\right\}\]

Lo que hicimos fue hallar el rango de la matriz \(A^{T}\), pero, ¿qué es el rango de la matriz?

Rango: es el número de filas no nulas de una matriz luego de ser escalonada. O en otras palabras, la dimensión de la imagen de la matriz. 

Entonces, cuando escalonamos \(A^{T}\), hallamos su rango que en este caso es \(2\). Entonces, podemos decir que el rango de \(A^{T}\) es igual a la dimensión del espacio columna de \(A\). 

NOTA: para encontrar una base para la imagen es indispensable escalonar a \(A^{T}\) y usar las filas de \(A^{T}\) escalonada como base de la imagen. Esto se debe al hecho de que cuando escalamos una matriz el espacio generado por las filas permanece igual, pero el espacio generado por las columnas cambia, ¿recuerdas?

Sin embargo, si el objetivo únicamente es descubrir la dimensión de la imagen podemos escalonar tanto la matriz \(A\) como la matriz \(A^{T}\). No es necesario transponer la matriz. La dimensión será el número de filas o columnas (que no sean cero) de la matriz escalonada. Esto se debe al hecho de que el número de filas y columnas \(L I\) de una matriz siempre es igual.

Sobreyectividad

Decimos que una \(f: V \longrightarrow W\) es sobreyectiva, cuando \(\operatorname{Im}(f)=W\) (codominio). Pero nuevamente podemos aplicar esos conceptos en las matrices de una forma distinta. 

Entonces, diremos que una matriz \(m \times n\) es sobreyectiva cuando:

\[\operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^{m}\]

o

\[\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(A))=m\]

Siendo \(m\) el número de filas. 

Cabe resaltar que una matriz solo puede ser sobreyectiva si su número de columnas es mayor o igual a su número de filas. Haciendo énfasis en “puede”, pues no todas las matrices que obedecen a esto son sobreyectivas, pero todas las matrices sobreyectivas lo obedecen.

Relacionando esto con las soluciones del sistema asociado a la matriz tenemos que, cuando la matriz es sobreyectiva, el sistema \(A x=b\) siempre tendrá solución.  Ten en cuenta que puede tener una solución única o varias soluciones. Lo importante es que siempre tendrá solución.

Ya sabemos clasificar matrices inyectivas y sobreyectivas. Cuando una matriz es inyectiva y sobreyectiva a la vez se dice que es: biyectiva.

¡Y eso es todo amigos, no olviden seguir practicando en la sección de ejercicios!