Teorema Rango-Nulidad

Antes de ver el teorema rango-nulidad, tenemos que responder esta pregunta: “¿Qué es el espacio fila?” Básicamente es lo mismo que el espacio columna. 

Espacio fila: el espacio fila de una matriz \(A\) es el espacio generado por los vectores fila de dicha matriz. 

Ejemplo:

El espacio fila de la matriz \(A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 2 & 1\end{array}\right]\) es:

\[{span}\{(1,0),(2,1)\}\]

Relacionando todo lo anterior con la matriz transpuesta:

     \(\bullet\) El espacio fila de una matriz \(A\) es igual al espacio columna de la transpuesta \(\left(A^{T}\right)\)

     \(\bullet\) El espacio columna (o imagen) de una matriz \(A\) es igual al espacio fila de la transpuesta \(\left(A^{T}\right)\)

     \(\bullet\) El espacio fila y el espacio columna de una matriz \(A_{m \times n}\) tienen la misma dimensión.

     \(\bullet\) El pivote de \(A\) es igual a la dimensión de su espacio fila.

Una consecuencia de los dos últimos enunciados es que el pivote de una matriz es la dimensión tanto del espacio columna como del espacio fila, pues sus dimensiones son iguales. 

¿Y como se halla la base para un espacio fila? Simplemente se debe escalonar.

Teorema rango-nulidad

Considerando una matriz \(A_{m \times n}\), siendo \(n\) el número de columnas y \(m\) el número de filas:

\[\operatorname{dim}(N u c(A))+\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(A))=n\]

También puede ser escrita de esta forma:

\[\operatorname{dim}(\operatorname{Nuc}(A))+\operatorname{pivote}(\mathrm{A})=n\]

Ejemplo: ¿será existe una matriz \(A_{11 \times 11}\) de forma que \(\operatorname{pivote}(A)=\operatorname{dim}(\operatorname{Nuc}(A))\)?

Si \(k\) es el valor del pivote \(A\), entonces 

\[\operatorname{dim}(\operatorname{Nuc}(A))=k\]

\[k+k=\mathrm{n}\]

Donde \(n\) es el número de columnas de la matriz.

Pero \(n=11\). Por tanto:

\[2 k=11\]

Lo cual es imposible, porque no existe una dimensión fraccionaria.

Eso quiere decir que la matriz del ejemplo no existe.