Axiomas del Producto Interno

Probablemente tengas conocimiento previo sobre el producto interno, principalmente por Física, donde se trabaja con muchos vectores.

Existen varias formas de denotar el producto interno entre dos vectores. Probablemente hayas trabajado con alguna de ellas:

\(\cdot\langle u, v\rangle\)

\(\cdot\langle u \mid v\rangle\)

\(\cdot u \cdot v\)

En esta ocasión usaremos la primera, pero en los libros hallarás cualquiera de ellas.

Cuidado: ten en cuenta que la notación que usaremos es igual a la notación del espacio generado, pero no tienen relación alguna. Por el contexto del problema siempre estará claro si la notación se refiere al espacio generado o al producto interno.

Cálculo del Producto Interno

Vamos a recordar cómo calcularlo. Comenzamos multiplicando las primeras coordenadas de las vectores y luego sumándolas con el producto de las segundas coordenadas y así sucesivamente. Por ejemplo: 

\[\langle(1,2,3),(4,5,6)\rangle=1.4+2.5+3.6=4+10+18=32\]

El asunto es que no solo existe el producto interno que hemos usado toda la vida, aquél llamado producto interno usual, también conocido como producto escalar.

¿Recuerdas el espacio vectorial? Donde podíamos inventar sumas y productos para luego verificar si seguía siendo un espacio vectorial. Podríamos decir que el producto interno funciona de manera similar.

Podemos inventar productos internos no usuales y comprobar si estos obedecen a los axiomas del producto interno:

     \(\bullet\) Simetría: \(\langle u, v\rangle=\langle v, u\rangle\)

     \(\bullet\) Homogeneidad: \(\langle\lambda u, v\rangle=\lambda\langle u, v\rangle\)

     \(\bullet\) Suma: \(\langle u+w, v\rangle=\langle u, v\rangle+\langle w, v\rangle\)

     \(\bullet\) Positividad: \(\langle u, u\rangle>0\), para todo \(u \neq 0\)

     \(\bullet\) \(\langle u, u\rangle=0 \Leftrightarrow u=0\)

Esas son las propiedades que definen el producto interno. Cualquier operación que inventes debe obedecer todos los axiomas para ser considerada un producto interno.

Veamos un ejemplo:

Siendo \(u=\left(x_{1}, y_{1}\right)\) y \(v=\left(x_{2}, y_{2}\right)\) vectores del \(\mathbb{R}^{2}\) compruebe si \(\langle u, v\rangle=2 x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}\) es un producto interno sobre el \(\mathbb{R}^{2}\).

Comprobando la simetría:

\[\langle u, v\rangle=\langle v, u\rangle\]

\[2 x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}=2 x_{2} x_{1}-y_{2} y_{1} \space ✔\]

Comprobando la homogeneidad:

\[\langle\lambda u, v\rangle=\lambda\langle u, v\rangle\]

\[2 \lambda x_{1} x_{2}-\lambda y_{1} y_{2}=\lambda\left(2 x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}\right) \space ✔\]

\[\langle u+w, v\rangle=\langle u, v\rangle+\langle w, v\rangle\]

\[w=\left(x_{3}, y_{3}\right)\]

\[2\left(x_{1}+x_{3}\right) x_{2}-\left(y_{1}+y_{3}\right) y_{2}=2 x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}+2 x_{3} x_{2}-y_{3} y_{2}\]

\[2 x_{1} x_{2}+2 x_{3} x_{2}-y_{1} y_{2}-y_{3} y_{2}=2 x_{1} x_{2}-y_{1} y_{2}+2 x_{3} x_{2}-y_{3} y_{2} \space ✔\]

Comprobando la positividad:

\[\langle u, u\rangle>0\]

\[2 x_{1} x_{1}-y_{1} y_{1}>0 \Longrightarrow 2 x_{1}^{2}-y_{1}^{2}>0\]

Es posible que \(y_{1}^{2}\) sea mayor que \(2 x_{1}^{2}\), lo que daría un resultado negativo, volviendo la afirmación anterior falsa. Por tanto, esa operación falla en el axioma y por eso no es un producto interno.

Por último, para terminar:

\[\langle u, u\rangle=0 \Leftrightarrow u=0\]

\[2 x_{1}^{2}-y_{1}^{2}=0 \Leftrightarrow u=0 \space ✗\]

Es posible que el resultado sea cero sin que \(u\) sea el vector nulo, entonces, aquí también falla.