Mínimos Cuadrados y Reflexiones

Como era de esperarse, también podemos resolver problemas de reflexión usando el método de los mínimos cuadrados. Y la mejor parte es que usamos el resultado de la proyección. Entonces, no necesitamos hacer operaciones extras. Según el siguiente enunciado:

Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por el vector \(b\) que queremos reflejar, tendremos:

\[R_{H} b=2 P_{H} b-b\]

Mira este gráfico, te será de gran ayuda:

Entonces, para hallar la reflexión de \(b\) con respecto de \(H\), solo tenemos que multiplicar la proyección de \(b\) en \(H\) por \(2\) y restar \(b\). Veamos un ejemplo:

Determine \(R_{H} b\) si \(b=(3,0,0)\) y \(H=\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 3\end{array}\right]\right\}\).

Definimos \(A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right]\) y resolvemos:

\[A^{T} A z=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right] z=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]=A^{T} b\]

\[\left[\begin{array}{cc}6 & 10 \\ 10 & 22\end{array}\right] z=\left[\begin{array}{l}3 \\ 9\end{array}\right]\]

Tenemos que \(z=(-3 / 4;3 / 4)\), entonces:

\[P_{H} b=A z=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-\frac{3}{4} \\ \frac{3}{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2} \\ 0 \\ \frac{3}{2}\end{array}\right]\]

\[R_{H} b=2 P_{H} b-b=2\left[\begin{array}{c}\frac{3}{2} \\ 0 \\ \frac{3}{2}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 3\end{array}\right]\]

Cómo obtener la matriz de una reflexión

De acuerdo con el concepto inicial, tenemos que:

\[R_{H}=2 P_{H}-I\]

Si multiplicamos ambos lados, como vimos, tenemos una herramienta para hallar la reflexión de un vector. Pero si mantenemos esa forma, podremos obtener la matriz de una reflexión directamente de la matriz de proyección. Solo tenemos que despejar las fórmulas que vimos para las proyecciones. Por ejemplo, la reflexión con respecto a un subespacio de dimensión \(1\) generado por un vector \(v\):

\[R_{v}=2 P_{v}-I=2 \frac{v v^{T}}{v^{T} v}-I\]

Ejemplo: encuentre la matriz de reflexión en la recta \(2 x-y=0\) del \(\mathbb{R}^{2}\).

Vamos a hallar el vector generador de la recta para introducirlo en la fórmula:

\[2 x-y=0 \Longrightarrow 2 x=y\]

\[(x, y)=(x, 2 x)=x(1,2)\]

\[R_{v}=2 \frac{v v^{T}}{v^{T} v}-I=2 \frac{\left(\left[\begin{array}{ll}1 \\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right]\right)}{\left[\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right]}-\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\]

\[R_{v}=2 \frac{\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right]}{5}-\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5}\end{array}\right]\]