Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

En esta ocasión hablaremos sobre el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. 

Imagina que nos encontramos con un ejercicio con todas las condiciones ideales para aplicar lo aprendido pero, sin embargo, la base no es ortogonal.

En ese caso tenemos \(2\) opciones: o lo hacemos tal como aprendimos, para cualquier base, o transformamos la base en una ortogonal.

En otras palabras, existe una forma de hallar una base ortogonal para cierto espacio \(H\) a partir de una base no ortogonal de él. Tal proceso es llamado ortogonalización de Gram-Schmidt.

Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt

Imagina que tenemos una base \(\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}\) y queremos obtener una base ortogonal \(\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}\).

Queremos cambiar la base, más no el espacio generado por esta. Es decir, la nueva base ortogonal \(\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}\) tendrá que generar el mismo espacio que la anterior. Por tal motivo vamos a escribir los vectores de la nueva base ortogonal en función de los antiguos. 

Vamos a definir los vectores de la base ortogonal de la siguiente forma:

\[w_{1}=v_{1}\]

\[w_{2}=v_{2}+\alpha w_{1}\]

\[w_{3}=v_{3}+\beta w_{1}+\gamma w_{2}\]

Ten en cuenta que \(\operatorname{span}\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}=\operatorname{span}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}\), porque todo lo que hicimos para obtener los vectores \(w_{1}, w_{2}, w_{3}\) fue combinar los vectores \(v_{1}, v_{2}, v_{3}\).

Entonces, el objetivo es hallar los valores de \(\alpha, \beta\) y \(gamma\) y encontrar una base ortogonal. Para ello, el producto interno entre los vectores tiene que ser cero.

Tenemos la exigencia de que \(\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}\) sean ortogonales entre sí. 

Vamos a forzar al producto interno de \(w_{1}\) y \(w_{2}\) para que sea cero, y despejar el valor de \(a\):

\[\left\langle w_{2}, w_{1}\right\rangle=0\]

\[\left\langle v_{2}+\alpha w_{1}, w_{1}\right\rangle=0\]

\[\left\langle v_{2}, w_{1}\right\rangle+\alpha\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle=0\]

\[\alpha=-\frac{\left\langle v_{2}, w_{1}\right\rangle}{\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle}\]

Ya tenemos \(\alpha\), vamos a llevar a cero el producto interno de \(w_{3}\) y  \(w_{1}\) y hallar \(\beta\):

\[\left\langle w_{3}, w_{1}\right\rangle=0\]

\[\left\langle v_{3}+\beta w_{1}+\gamma w_{2}, w_{1}\right\rangle=0\]

\[\left\langle v_{3}, w_{1}\right\rangle+\beta\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle+\gamma\left\langle w_{2}, w_{1}\right\rangle=0\]

Sabemos que \(\left\langle w_{2}, w_{1}\right\rangle=0\), entonces tenemos:

\[\left\langle v_{3}, w_{1}\right\rangle+\beta\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle=0\]

\[\beta=-\frac{\left\langle v_{3}, w_{1}\right\rangle}{\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle}\]

Por último, vamos a calcular \(\left\langle w_{3}, w_{2}\right\rangle\) y hallar \(\gamma\):

\[\left\langle w_{3}, w_{2}\right\rangle=0\]

\[\left\langle v_{3}+\beta w_{1}+\gamma w_{2}, w_{2}\right\rangle=0\]

\[\left\langle v_{3}, w_{2}\right\rangle+\beta\left\langle w_{1}, w_{2}\right\rangle+\gamma\left\langle w_{2}, w_{2}\right\rangle=0\]

Sabemos que \(\left\langle w_{2}, w_{1}\right\rangle=0\), entonces tenemos:

\[\left\langle v_{3}, w_{2}\right\rangle+\gamma\left\langle w_{2}, w_{2}\right\rangle=0\]

\[\gamma=-\frac{\left\langle v_{3}, w_{2}\right\rangle}{\left\langle w_{2}, w_{2}\right\rangle}\]

Tenemos todo lo necesario para la nueva base.

Sustituyendo en los valores que definimos:

\[w_{1}=v_{1}\]

\[w_{2}=v_{2}-\frac{\left\langle v_{2}, w_{1}\right\rangle}{\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle} w_{1}\]

\[w_{3}=v_{3}-\frac{\left\langle v_{3}, w_{1}\right\rangle}{\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle} w_{1}-\frac{\left\langle v_{3}, w_{2}\right\rangle}{\left\langle w_{2}, w_{2}\right\rangle} w_{2}\]

¿Y si se trata de una base con \(4\) vectores, tendremos que hacer eso todo el tiempo? Claro que no. Tal vez no lo hayas notado pero hay un patrón, presta atención:

Dada una base no ortogonal \(\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\), definimos \(\left\{w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{n}\right\}\) por

\[\begin{array}{cc}w_{1}= & v_{1} \\ w_{2}= & v_{2}-\frac{\left\langle v_{2}, w_{1}\right\rangle}{\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle} w_{1} \\ w_{3}= & v_{3}-\frac{\left\langle v_{3}, w_{1}\right\rangle}{\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle} w_{1}-\frac{\left\langle v_{3}, w_{2}\right\rangle}{\left\langle w_{2}, w_{2}\right\rangle} w_{2} \\ \vdots & \vdots \\ w_{n}= & v_{n}-\frac{\left\langle v_{n}, w_{1}\right\rangle}{\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle} w_{1}-\frac{\left\langle v_{n}, w_{2}\right\rangle}{\left\langle w_{2}, w_{2}\right\rangle} w_{2}-\ldots-\frac{\left\langle v_{n}, w_{n-1}\right\rangle}{\left\langle w_{n-1}, w_{n-1}\right\rangle} w_{n-1}\end{array}\]

¿Entendiste el patrón? En realidad la única fila que necesitas aprenderte es la última:

\[w_{n}=v_{n}-\frac{\left\langle v_{n}, w_{1}\right\rangle}{\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle} w_{1}-\frac{\left\langle v_{n}, w_{2}\right\rangle}{\left\langle w_{2}, w_{2}\right\rangle} w_{2}-\ldots-\frac{\left\langle v_{n}, w_{n-1}\right\rangle}{\left\langle w_{n-1}, w_{n-1}\right\rangle} w_{n-1}\]

A partir de esta se puede hallar la fórmula para cualquier \(w\).

Aplicación

Veamos un ejemplo:

Halle una base ortogonal para \(H=\langle(1,3,1),(2,0,0),(0,2,4)\rangle\)

Vamos a calcular los vectores de la nueva base ortogonal \(\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\}\)

\[w_{1}=v_{1} \Longrightarrow w_{1}=(1,3,1)\] 

Eso fue sencillo, ahora \(w_{2}\):

\(w_{2}=v_{2}-\frac{\left\langle v_{2}, w_{1}\right\rangle}{\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle} w_{1}\)

\[\Rightarrow w_{2}=(2,0,0)-\frac{\langle(2,0,0),(1,3,1)\rangle}{\langle(1,3,1),(1,3,1)\rangle}(1,3,1)\]

\[\Longrightarrow w_{2}=(2,0,0)-\frac{2}{11}(1,3,1)=\left(\frac{20}{11},-\frac{6}{11},-\frac{2}{11}\right)\]

Por último, \(w_{3}\):

\[w_{3}=v_{3}-\frac{\left\langle v_{3}, w_{1}\right\rangle}{\left\langle w_{1}, w_{1}\right\rangle} w_{1}-\frac{\left\langle v_{3}, w_{2}\right\rangle}{\left\langle w_{2}, w_{2}\right\rangle} w_{2}\]

Sustituyendo los valores,

\[(0,2,4)-\frac{\langle(0,2,4),(1,3,1)\rangle}{\langle(1,3,1),(1,3,1)\rangle}(1,3,1)-\frac{\left\langle(0,2,4),\left(\frac{20}{11},-\frac{6}{11},-\frac{2}{11}\right)\right\rangle}{\left\langle\left(\frac{20}{11},-\frac{6}{11},-\frac{2}{11}\right),\left(\frac{20}{11},-\frac{6}{11},-\frac{2}{11}\right)\right\rangle}\left(\frac{20}{11},-\frac{6}{11},-\frac{2}{11}\right)\]

¡Vamos a resolver!

\[w_{3}=(0,2,4)-\frac{10}{11}(1,3,1)-\frac{\frac{-20}{11}}{\frac{440}{121}}\left(\frac{20}{11},-\frac{6}{11},-\frac{2}{11}\right)\]

Entonces

\[w_{3}=(0,2,4)+\left(-\frac{10}{11},-\frac{30}{11},-\frac{10}{11}\right)+\left(-\frac{10}{11}, \frac{3}{11}, \frac{1}{11}\right)=\left(-\frac{20}{11},-\frac{5}{11}, \frac{35}{11}\right)\]

La nueva base para dicho espacio es:

\[\left\{(1,3,1),\left(\frac{20}{11},-\frac{6}{11},-\frac{2}{11}\right),\left(-\frac{20}{11},-\frac{5}{11}, \frac{35}{11}\right)\right\}\]

¡Eso es todo amigos, vamos a los ejercicios!