Proyección Ortogonal

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

 

En esta ocasión aprenderemos a proyectar vectores en cualquier espacio que queramos. Esto conlleva diversos usos y aplicaciones, pero en esta ocasión solo nos enfocaremos en cómo calcularlo. 

 

Comencemos con una pregunta: ¿cómo se relaciona la proyección de vectores en un plano con la proyección de vectores en un espacio?

 

Introducción

 

Podemos proyectar o reflejar vectores usando transformaciones lineales. Entonces, vamos a construir una transformación que proyecte el vector en un espacio vectorial.

 

Vamos a escoger un espacio vectorial \(V\), donde \(V\) sea el plano \(xy\).

 

\[V=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\}\]

 

Y su complemento ortogonal es:

 

\[V^{\perp}=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}\]

 

Vamos a aprender a proyectar algunos vectores sobre \(V\).

 

Proyección Ortogonal

 

Observa el gráfico a continuación:

 

 

En él tenemos el vector \(u\), que forma parte del plano \(x y\) (el espacio \(V\)), el vector \(s\) que pertenece a \(V^{\perp}\), y el vector \(v\) que no pertenece a ninguno de los dos.

 

Vamos a proyectar todos esos vectores en el plano \(x y\).

 

Para hacer la proyección en un plano construimos un triángulo rectángulo.

 

 

En este caso no será distinto. El ángulo que usaremos es el ángulo formado entre el vector y el plano en que queremos proyectarlo.

 

No sabemos el módulo del vector \(v\), \(\|v\|\), pero su proyección sería:

 

\[P_{V} v=\|v\| \cdot \cos (\alpha)\]

 

¿Cómo sería la proyección del vector \(u\) en \(V\)?

 

El ángulo que \(u\) hace con \(V\) es \(0^{\circ}\). Entonces, tenemos:

 

\[P_{V} u=u \cdot \cos \left(0^{\circ}\right)=u\]

 

¿Y si proyectamos \(s\) en \(V\)? El ángulo entre \(s\) y el plano es \(90^{\circ}\). En la fórmula:

 

\[P_{V} s=s \cdot \cos \left(90^{\circ}\right)=0\]

 

Como puedes notar, \(s\) es perpendicular a \(V\). Bastante obvio, pues \(s\) pertenece al complemento ortogonal de \(V\).

 

Así que cada vez que tomes un vector perteneciente a \(V\) y lo proyectes en \(V\) dará el mismo vector. Y si tomas otro perteneciente a \(V^{\perp}\) y lo proyectas en \(V\) dará \(0\). Esto siempre va a ocurrir. No solo para el \(R^{3}\), sino para todo el \(R^{n}\).

 

Entonces, podemos expandir este concepto a espacios mayores. Luego de \(R^{3}\) perdemos la noción geométrica, pero seguiremos calculando más no viendo gráficamente la situación.

 

Vamos a definir la proyección usando transformaciones lineales:

 

 

La definición dice que si un vector pertenece a un espacio vectorial, su proyección sobre dicho espacio es sí mismo. Y si tomamos otro vector perteneciente a su complemento ortogonal y lo proyectamos en el mismo espacio, su proyección será cero.

 

Sabiendo la imagen de la base del dominio, \(R^{n}\), es más sencillo armar su transformación. ¿Y para qué queremos hallar la expresión de la \(TL\)? Porque con esta calculamos la proyección de todos los vectores de su espacio sobre \(V\), sin usar senos o cosenos.

 

En este caso estamos usando el plano \(xy\), que es fácil de imaginar. Cuando se trate de un plano extraño, o un espacio de mayor dimensión, los senos y los cosenos no serán de mucha ayuda.

 

Cómo hallar la \(TL\) de la transformación

 

Veamos un ejemplo:

 

Vamos a calcular la \(T L\) que proyecta un vector del \(R^{3}\) sobre el plano \(x+y-z=0\).

 

Paso 1: hallar una base para el espacio donde se quiere proyectar y para su complemento ortogonal.

 

Por la ecuación del plano tenemos que \(z=x+y\). Entonces, el vector genérico de este plano será:

 

\[(x, y, x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1)\]

 

Por tanto, una base para ese subespacio sería:

 

\[\{(1,0,1),(0,1,1)\}\]

 

En cuanto al complemento ortogonal sabemos que es la recta perpendicular al plano. Su base puede ser dada por los coeficientes de la ecuación del plano, siendo así:

 

\[x+y-z=0\]

 

\[\{(1,1,-1)\}\]

 

Y así, llegamos a una base de \(R^{3}\):

 

\[\beta=\{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,-1)\}\]

 

Por tanto, sabemos que todo vector \((x, y, z)\) puede ser escrito en función de dicha base:

 

\[(x, y, z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,-1)\]

 

Paso 2: la imagen de la base del espacio donde se quiere proyectar, será la base en sí. La imagen de la base del complemento ortogonal será cero.

 

Aplicando la transformación en ambos lados de la igualdad y valiéndonos de lo anterior, tenemos:

 

\[T(x, y, z)=a T(1,0,1)+b T(0,1,1)+c T(1,1,-1)\]

 

\[T(x, y, z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+0\]

 

Paso 3: para hallar la ecuación de la \(TL\) necesitamos los valores de \(a\) y \(b\). Ten en cuenta que \(c\) no es necesario, pues es cero. Entonces:

 

\[(x, y, z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,-1)\]

 

\[\{x=a+c y=b+c z=a+b-c \quad(I)(I I)(I I I)\]

 

Resolviendo el sistema, tenemos:

 

\[a=\frac{2 x-y+z}{3}\]

 

\[b=\frac{-x+2 y+z}{3}\]

 

Paso 4: sustituimos en la ecuación de la \(TL​​\):

 

\[T(x, y, z)=a(1,0,1)+b(0,1,1)\]

 

\[T(x, y, z)=\frac{2 x-y+z}{3}(1,0,1)+\frac{-x+2 y+z}{3}(0,1,1)\]

 

\[T(x, y, z)=\left(\frac{2 x-y+z}{3}, \frac{-x+2 y+z}{3}, \frac{x+y+2 z}{3}\right)\]

 

Y hallamos la \(TL\).

 

Matriz que representa la \(TL\)

 

Ya sabemos cómo hallar la matriz a partir de una \(TL\). Si quisiéramos hallar la matriz de la \(TL\) del ejemplo anterior, ¿cómo lo haríamos? Simplemente tenemos que descomponer la \(T L\):

 

\[T(x, y, z)=\left[\begin{array}{c}\frac{2 x-y+z}{3} \\ \frac{-x+2 y+z}{3} \\ \frac{x+y+2 z}{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ z\end{array}\right]\]

 

Entonces, la matriz es:

 

\[T=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right]\]

 

Esta es la matriz canónica de la \(TL\). Por tanto, podemos aplicar cualquier vector del \(R^{3}\) en ella.

 

¿Y si quisiéramos hallar \([T]_{\beta}\)? Donde \(\beta\) es la base formada por la base del subespacio donde estamos proyectando y por la base de su complemento ortogonal.

 

En el ejemplo que vimos, la base \(\beta\) era dada por:

 

\[\beta=\{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,-1)\}\]

 

Si escribimos el vector \((1,0,1)\) en función de dicha base, tendremos:

 

\[(1,0,1)=a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(1,1,-1)\]

 

\[a=1 ; b=0 ; c=0\]

 

Entonces,

 

\[[(1,0,1)]_{\beta}=(1,0,0)\]

 

Análogamente, tendríamos:

 

\[[(0,1,1)]_{\beta}=(0,1,0)\]

 

\[[(1,1,-1)]_{\beta}=(0,0,1)\]

 

¿Qué sucede si aplicamos el vector \([(1,0,1)]_{\beta}\) en \([T]_{\beta}\)? Debe volver a \([(1,0,1)]_{\beta}\) porque está en el plano donde estamos proyectando. Siguiendo esta lógica, tenemos que:

 

\[[T]_{\beta}(1,0,0)=(1,0,0)\]

 

\[[T]_{\beta}(0,1,0)=(0,1,0)\]

 

\[[T]_{\beta}(0,0,1)=(0,0,0)\]

 

Por tanto,

 

\[[T]_{\beta}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]

 

¿Notaste algo? Pues bien, la matriz siempre será diagonal. Y, siguiendo el orden de la base, los números de la diagonal te dirán lo que le ocurre. ¡Ya verás a qué me refiero!

 

El primer vector de la base \((1,0,1)\) se tiene a sí mismo como imagen, por tanto, tenemos un \(1\) en la matriz. El segundo vector de la base \((1,0,1)\) también se tiene a sí mismo como imagen, es por ello que nuevamente tenemos un \(1\). Y la imagen del tercer vector \((1,1,-1)\) es \(0\), por tanto, tendremos  un \(0\) en la matriz.

 

Consejos

 

A continuación algunos consejos sobre el uso de la matriz de proyección:

 

     \(\bullet\) La matriz de proyección siempre será simétrica.

 

     \(\bullet\) El trazo de la matriz de proyección es la dimensión del espacio en el que se está proyectando. En el ejemplo anterior estábamos proyectando sobre un plano, por tanto, el trazo de la matriz es \(2\).

 

    \(\bullet\) Si \(A\) es una matriz de proyección, entonces \(A=A^{2}\).

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