Bases Ortogonales y Ortonormales

Ya sabemos que un conjunto de vectores ortogonales siempre es \(LI\).

Pues bien, tal como un conjunto de vectores \(LI\), existen bases especiales llamadas “bases ortogonales y ortonormales”. En esta ocasión hablaremos de ellas.

Base Ortogonal

Una base es ortogonal si el producto interno de un vector con cada uno de los otros vectores de la base es cero.

Se que parece difícil, pero no lo es. Imagina la siguiente base:

\[\alpha=\{(1,1,1) ;(-2,1,1) ;(0,-1,1)\}\]

Vamos a ver si es una base ortogonal. Para ello debemos calcular el producto interno entre todos los vectores de la base.

\[<(1,1,1) ;(-2,1,1)>=1^{*}(-2)+1^{*} 1+1^{*} 1=-2+1+1=0\]

\[<(1,1,1) ;(0,-1,1)>=1^{*} 0+1^{*}(-1)+1^{*} 1=0-1+1=0\]

\[<(-2,1,1) ;(0,-1,1)>=(-2)^{*} 0+1^{*}(-1)+1^{*} 1=0-1+1=0\]

Todos los productos internos dieron cero, por tanto, podemos concluir que la base es ortogonal.

Base Ortonormal

Una base es ortonormal si cumple con dos condiciones:

     \(\bullet\) Que sea una base ortogonal

     \(\bullet\) El producto interno de un vector de la base con sí mismo debe ser \(1\).

Ya sabemos que es una base ortogonal, ¿pero qué significa la segunda condición?

El producto interno de un vector de la base con sí mismo debe ser \(1\). Significa que el módulo de los vectores de la base tiene que ser \(1\).

Vamos a verificar si la base \(\alpha\) es una base ortonormal:

\[\alpha=\{(1,1,1) ;(-2,1,1) ;(0,-1,1)\}\]

Ya sabemos que es una base ortogonal, lo cual cumple la primera condición. Para que sea ortonormal, el producto interno de cada vector con sí mismo tiene que ser igual a \(1\):

\[<(1,1,1) ;(1,1,1)>=1+1+1=3\]

\[<(-2,1,1) ;(-2,1,1)>=4+1+1=6\]

\[<(0,-1,1),(0,-1,1)>=0+1+1=2\]

Ninguno de los productos internos dio \(1\). Entonces, la base está lejos de ser una base ortonormal.

Podemos apreciar que toda base ortonormal también es ortogonal. Entonces, además de que el producto interno de un vector con cada uno de los vectores de cero, tenemos que el producto interno de un vector con sí mismo debe ser \(1\).

¿Y si quisiéramos obtener una base ortonormal a partir de una base ortogonal? ¿Podemos hacerlo? ¡Claro que sí!

A partir de una base ortonormal siempre podemos obtener una base ortogonal. En realidad, el procedimiento es sencillo, solo tenemos que normalizar cada vector.

Para normalizar un vector tenemos que dividir cada componente por su norma:

\[\text {NORMALIZACION}\Rightarrow \frac{v}{\|v\|}=\frac{v}{\sqrt{<v, v>}}\]

Por ejemplo, vamos a transformar la base \(\alpha\) en una base ortonormal:

\[\alpha=\{(1,1,1),(-2,1,1),(0,-1,1)\}\]

Normalizando cada vector, tenemos:

\[\frac{(1,1,1)}{\sqrt{1+1+1}}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\]

\[\frac{(-2,1,1)}{\sqrt{4+1+1}}=\left(-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)\]

\[\frac{(0,-1,1)}{\sqrt{0+1+1}}=\left(0,-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]

Y así llegamos a la base ortonormal de \(R^{3}\):

\[\alpha^{\prime}=\left\{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right),\left(-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right),\left(0,-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\}\]

Matriz Ortogonal

Se dice que una matriz cuadrada es ortogonal cuando su transpuesta coincide con su inversa. Es decir, una matriz \(A\) es ortogonal si:

\[A^{T}=A^{-1}\]

Un ejemplo clásico de una matriz ortogonal es la matriz identidad:

\[\left[\begin{array}{ccccc}1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\end{array}\right]\]

Toda matriz rotación y, por tanto, toda matriz reflexión es una matriz ortogonal. En otras palabras, si \(R\) es una matriz de reflexión o una matriz de rotación, tenemos que \(R^{T}=R^{-1}\).

Algunas propiedades interesantes de las matrices ortogonales:

     \(\bullet\) Una matriz \(A\) es ortogonal si, y solamente si, sus columnas forman un conjunto ortonormal.

     \(\bullet\) Una matriz \(A\) es ortogonal si, y solamente si, sus filas forman un conjunto ortonormal.

     \(\bullet\) Una matriz \(A\) es ortogonal si, y solamente si, su traspuesta \(A^{T}\) también lo es.

     \(\bullet\) El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.