Reflexión Ortogonal

En el tema anterior aprendimos a proyectar vectores en el espacio. Lo siguiente será aprender a reflejar un vector con respecto a un espacio.

 

Nuevamente, nos limitaremos a entender la parte matemática del tema.

 

Cómo hallar la \(TL\) de la reflexión

 

Nuevamente, veremos qué ocurre con un vector que pertenece a \(V\), al plano \(xy\), reflejado con respecto a \(V\), y un vector perteneciente a su complemento ortogonal reflejado con respecto a \(V\). 

 

Su gráfico es:

 

 

Como puedes ver, si tomamos un vector perteneciente a \(V\) y lo reflejamos con respecto a \(V\), el resultado será el mismo vector (como si fuera un espejo). Si tomamos uno perteneciente al complemento ortogonal, solo tenemos que invertir su sentido.

 

Entonces, vamos a usar la misma lógica que en la proyección. Es sencillo entenderlo en \(\mathbb{R}^{3}\), pero vamos a generalizar para todos los espacios con una transformación lineal:

 

 

Nota: para armar la \(TL\) de la reflexión, debemos hacer lo mismo; definir una base para el dominio, aplicar en cada uno de los vectores…En el caso de la reflexión y la proyección es fácil hallar la imagen de los vectores de su base, porque solo tenemos que definir la base con los vectores de \(V\) y \(V^{\perp}\), y juntarla para tener la del \(\mathbb{R}^{n}\).

 

El procedimiento será casi el mismo que para la proyección, veamos un ejemplo.

 

Vamos a calcular la \(TL\) que refleja un vector de \(\mathbb{R}^{2}\) con respecto a la recta \(x-2 y=0\).

 

Paso 1: hallar una base para el espacio con respecto al cual se quiere reflejar y para su complemento ortogonal.

 

Por la ecuación de la recta, tenemos:

 

\[x=2 y\]

 

Por tanto, el vector genérico es dado por \((2 y, y)=y(2,1)\). Entonces una base para dicho subespacio sería:

 

\[\{(2,1)\}\]

 

El complemento ortogonal será la recta perpendicular a ésta, y su base es:

 

\[\{(-1,2)\}\]

 

Y así llegamos a la base de \(\mathbb{R}^{2}\):

 

\[\{(2,1),(-1,2)\}\]

 

Entonces, cualquier vector \((x, y)\) del \(\mathbb{R}^{2}\) puede ser escrito como:

\[(x, y)=a(2,1)+b(-1,2)\]

 

Paso 2: la imagen de la base del espacio con respecto al cual se quiere reflejar, será la base en sí misma. La imagen de la base del complemento ortogonal será el vector con sentido contrario.

 

Aplicando la transformación en ambos lados de la igualdad y, de acuerdo con lo anterior, tenemos:

 

\[T(x, y)=a T(2,1)+b T(-1,2)\]

 

\[T(x, y)=a(2,1)+b(1,-2)\]

 

Paso 3: para encontrar la ecuación de la \(TL\) necesitamos los valores de \(a\) y \(b\). Entonces:

 

\[(x, y)=a(2,1)+b(-1,2)\]

 

\[\left\{\begin{array}{l}x=2 a-b \\ y=a+2 b\end{array}\right.\]

 

Resolviendo el sistema, tenemos:

 

\[a=\frac{2 x+y}{5}\]

 

\[b=\frac{-x+2 y}{5}\]

 

Paso 4: sustituimos en la ecuación de la \(TL\):

 

\[T(x, y)=\frac{2 x+y}{5}(2,1)+\frac{-x+2 y}{5}(1,-2)\]

 

\[T(x, y)=\left(\frac{3 x+4 y}{5}, \frac{4 x-3 y}{5}\right)\]

 

Y tenemos la \(TL\).

 

Matriz que representa a la \(TL\)

 

No es complicado hallar la matriz de la \(T L\) anterior. Solo tenemos que separarla:

 

\[T(x, y)=\left[\begin{array}{c}\frac{3 x+4 y}{5} \\ \frac{4 x-3 y}{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & -\frac{3}{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\]

 

Entonces, la matriz es:

 

\[T=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & -\frac{3}{5}\end{array}\right]\]

 

Como podemos ver, esta matriz está en la base canónica. Análogamente, si quisiéramos \([T]_{\beta}\), donde \(\beta\) es la base formada por la base del subespacio con respecto al cual estamos reflejando y por la base de su complemento ortogonal, tendremos:

 

\[\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right]\]

 

Ten en cuenta que, nuevamente, tenemos una matriz diagonal. También, cabe destacar que la imagen del primer vector de la base es sí mismo, \(1\) es el primer valor en la diagonal. La imagen del segundo vector de la base también es sí mismo pero con sentido opuesto, es decir, \(-1\) es el segundo valor en la diagonal.

 

Tips

 

A continuación algunos consejos sobre el uso de la matriz de una reflexión.

 

La inversa de la matriz de reflexión siempre será sí misma. 

 

Si reflejas un vector con respecto a un espacio, y luego lo reflejas nuevamente con respecto al mismo espacio, obtendrás el mismo vector.

 

Todas las matrices de una reflexión son ortogonales, es decir, su inversa es igual a la transpuesta.

 

Y como sabemos que la matriz de una reflexión es igual a su inversa, esta también es igual a su transpuesta.

 

 

Entonces, si \(R_{H}\) es la matriz de una reflexión cualquiera,

 

\[R_{H}=R_{H}^{T}=R_{H}^{-1}\]

 

Y finalmente, así como para la matriz de proyección, también existe una relación entre el trazo de la matriz y el espacio en el cual estamos proyectando. Si tomas el trazo de la matriz de una reflexión, sumas la dimensión del dominio de la matriz y divides dicho valor por \(2\), tendrás la dimensión del espacio con respecto del cual se refleja.

 

Por ejemplo, si la reflexión ocurre en \(\mathbb{R}^{3}\) y el trazo de la matriz es \(-1\), tenemos:

 

\[\frac{\left(-1+\operatorname{dim}\left(\mathbb{R}^{3}\right)\right)}{2}=\frac{2}{2}=1\]

 

Es decir, es reflejada por una recta.

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