Norma vectorial y Distancia entre dos Vectores

La norma es lo mismo que el módulo de un vector. Durante este tema nos referiremos al módulo como norma, así que no te asustes cuando leas “la norma de un vector”.

Vamos a calcular el producto interno de un vector con sí mismo, siendo \(u=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)\):

\[\langle u, u\rangle=u_{1} . u_{1}+\ldots+u_{n} . u_{n} \Rightarrow\]

\[\langle u, u\rangle=u_{1}^{2}+\ldots+u_{n}^{2}\]

Pero, espera, ¿cuál es la definición de la norma, o el módulo, o de un vector en sí?

\[\|u\|=\sqrt{u_{1}^{2}+\ldots+u_{n}^{2}} \Rightarrow\]

\[\|u\|^{2}=u_{1}^{2}+\ldots+u_{n}^{2}\]

Entonces, si igualamos las dos ecuaciones:

\[\langle u, u\rangle=\|u\|^{2} \Rightarrow\]

\[\|u\|=\sqrt{\langle u, u\rangle}\]

También podemos definir la norma de un vector de otra manera:

Nota: decimos que si \(\|u\|=1\), entonces el vector es unitario.

Nota 2: cuando la norma del vector es distinta de \(1\), para normalizarlo solo tenemos que dividir el vector por su norma. Decimos que \(\hat{u}\) es la normalización de \(u\):

\[\hat{u}=\frac{u}{\|u\|}\]

Por ejemplo:

Vamos a escoger el vector \(v=(0,2,5,4)\)

\[\|v\|=\|(0,2,5,4)\|=\sqrt{0^{2}+2^{2}+5^{2}+4^{2}}=\sqrt{45}=3 \sqrt{5}\]

Entonces podemos decir que \(v\) no es unitario. Para volverlo unitario debemos dividirlo por su norma. Entonces, el unitario de \(v\) es el vector:

\[\hat{v}=\frac{1}{3 \sqrt{5}}(0,2,5,4)\]

Cuando normalizamos un vector solamente lo multiplicamos por un número real positivo. Es decir, el vector normalizado y el vector original tienen la misma dirección y sentido. Es como si hubiéramos comprimido el vector azul:

Pero si tomamos el vector \((1,0,0)\), podemos ver que:

\[\|(1,0,0)\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}=1\]

Por tanto, el vector \((1,0,0)\) es unitario.

Distancia entre dos vectores

La distancia entre dos vectores \(u\) y \(v\) está definida por \(d(u, v)=\|u-v\|\).

En la práctica, lo que hacemos es tomar el tamaño del vector que da la diferencia entre ellos. Por ejemplo, la distancia entre los vectores \(u=(7,3)\) y \(v=(1,-5)\) es dada por:

\[d(u, v)=\|(7,3)-(1,-5)\|=\|(6,8)\|=\sqrt{\langle(6,8),(6,8)\rangle}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\]

Gráficamente sería:

Propiedades de la Norma y de la Distancia

Para terminar, algunas propiedades de la norma y de la distancia:

     \(\bullet\) \(\|0\|=0\) (la norma del vector nulo es cero)

     \(\bullet\) \(\|v\|=0\) si, y solamente si, \(v=0\) (el único vector cuya norma es cero es el vector cero)

     \(\bullet\) \(\|\alpha v\|=|\alpha| \cdot\|v\|\) para todo \(\alpha \in \mathbb{R}\) (vector multiplicado por un escalar tiene una norma modificada por el módulo del escalar).

     \(\bullet\) \(d(u, v)=0\) si, y solamente si, \(u=v\)

     \(\bullet\) \(d(u, v) \geq 0\)

     \(\bullet\) \(d(v, 0)=\|v\|\)