Ángulo entre dos vectores

El producto interno puede ser definido de la siguiente forma:

Además, existe otra fórmula para este:

\[\langle u, v\rangle=\|u\| \cdot\|v\| \cdot \cos (\theta)\]

El ángulo \(\theta\) es el menor ángulo entre los dos vectores. A través de la fórmula podemos hallar el ángulo entre ambos vectores. Despejandola, tenemos:

\[\cos (\theta)=\frac{\langle u, v\rangle}{\|u\| \cdot\|v\|}\]

o

\[\theta=\arccos \left(\frac{\langle u, v\rangle}{\|u\| \cdot\|v\|}\right)\]

Puedes usar la de tu preferencia.

Veamos un ejemplo:

¿Cuál es el ángulo entre el vector \((1,1)\) y el vector \((0,3)\)?

Simplemente tenemos que aplicar la fórmula anterior, sustituyendo \(u\) y \(v\) por los vectores correspondientes:

\[\theta=\arccos \left(\frac{\langle(1,1),(0,3)\rangle}{\|(1,1)\| .\|(0,3)\|}\right)\]

\[\theta=\arccos \left(\frac{1 \cdot 0+1 \cdot  3}{\sqrt{1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{0^{2}+3^{2}}}\right)\]

\[\theta=\arccos \left(\frac{3}{3 \sqrt{2}}\right)=\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=45^{\circ} \text { o } \frac{\pi}{4}\]

Vectores ortogonales

¿Qué son los vectores ortogonales?

Vamos a calcular el producto interno entre los vectores \((1,0),(0,1)\):

\[\langle(1,0),(0,1)\rangle=1 \times 0+0 \times 1=0\]

¡El producto interno dio \(0\)! Cuando esto ocurre decimos que los vectores son ortogonales, es decir, son perpendiculares, hacen un ángulo de \(90^{\circ}\) entre ellos. Trata de imaginar esos vectores en el \(\mathbb{R}^{2}\).

Como ya sabemos que significa que un conjunto de vectores sean ortogonales, podemos definir un conjunto de vectores ortonormales. Un conjunto de vectores ortonormales es aquel donde los vectores son ortogonales entre sí y todos son unitarios. 

Veamos los conjuntos de vectores \(\{(1,0),(0,1)\}\) y \(\{(1,1),(1,-1)\}\).

En ambos casos tendremos:

\(a) \space \langle(1,0),(0,1)\rangle=0\)

\(b) \space \langle(1,1),(1,-1)\rangle=1 \times 1+1 \times(-1)=0\)

Ten en cuenta que el producto interno de estos vectores es \(0\), y que son \(LI\).

Por tanto, podemos concluir que los vectores ortogonales son \(LI\). Si son perpendiculares nunca pueden formar parte de la misma recta, por tanto, son \(LI\).

¡Cuidado! Es cierto que los vectores ortogonales son \(LI\), pero lo contrario no es cierto. No todos los vectores \(L I\) son ortogonales.

Nota: hablando de la norma del vector, para \(u\) y \(v\) ortogonales, tenemos que:

\[\|u\|^{2}+\|v\|^{2}=\|u+v\|^{2}\]

Esto sucede porque para \(u\) y \(v\) ortogonales, tenemos que \(u+v\) es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos \(u\) y \(v\). La fórmula anterior simplemente es la aplicación de Pitágoras.

¡Eso es todo, vamos a los ejercicios!