Propiedades del Producto Interno

¡Bienvenidos, espero que estén bien!

En esta ocasión estudiaremos las propiedades del producto interno.

La linealidad del producto interno es:

\[\langle\alpha v+\beta u, w\rangle=\alpha\langle v, w\rangle+\beta\langle u, w\rangle\]

También podemos escribir la norma de un vector a través de él:

\[\|v\|=\sqrt{\langle v, v\rangle}\]

O incluso hallar el ángulo entre dos vectores:

\[\cos \theta=\frac{\langle u, v\rangle}{\|u\| \cdot\|v\|}\]

Y de la última fórmula tenemos que el producto interno entre vectores ortogonales es cero.

¿Pero…, para qué estamos hablando de todo eso? Bueno, en realidad estas propiedades son sumamente útiles para probar cosas o resolver problemas de implicaciones.

En situaciones de este tipo, por lo general, aplicaremos el producto interno en ambos lados con el fin de llegar al resultado que queremos demostrar. Veamos algunos ejemplos:

Demuestre que un conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente.

Vamos a comenzar definiendo el siguiente conjunto ortogonal:

\[\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\]

Sabemos que, si el conjunto es \(LI\), tenemos que:

\[\alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\ldots+\alpha_{n} v_{n}=0 \Rightarrow \alpha_{1}=\alpha_{2}=\ldots=\alpha_{n}=0\]

Por la linealidad del producto interno podemos separarlo de la siguiente manera:

\[\left\langle v_{i}, \alpha_{1} v_{1}+\alpha_{2} v_{2}+\ldots+\alpha_{n} v_{n}\right\rangle=\alpha_{1}\left\langle v_{i}, v_{1}\right\rangle+\alpha_{2}\left\langle v_{i}, v_{2}\right\rangle+\ldots+\alpha_{i}\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle+\ldots+\alpha_{n}\left\langle v_{i}, v_{n}\right\rangle\]

Además, sabemos que el vector \(v\), es ortogonal a todos los otro vectores del conjunto a excepción de sí mismo, por tanto, la igualdad se reduce a:

\[\alpha_{i}\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle=0 \Rightarrow \alpha_{i}\left\|v_{i}\right\|^{2}=0\] 

Como \(\left\|v_{i}\right\| \neq 0\) ya que es un conjunto de vectores no nulos, esta igualdad implica en:

\[\alpha_{i}=0\]

Así, demostramos que, el conjunto es \(LI\).

¡Eso es todo amigos, no olviden practicar! Todo lo que tenemos que hacer es ir despejando las propiedades según sea el caso.