Coordenadas de un Vector en una Base Ortogonal

En esta ocasión aprenderemos a escribir las coordenadas de un vector en una base ortogonal.

Debes estar pensando: ¡Ya sé escribir las coordenadas de un vector en cualquier base! ¿Para qué tengo que estudiarlo de nuevo?

Si lo sabes, entonces vamos a resolver este ejercicio:

\[\beta=\{(1,1,1,1,1),(1,0,0,0,-1),(0,1,0,-1,0),(1,1,-4,1,1),(1,-1,0,-1,1)\}\]

Calcule la quinta coordenada del vector \(v=(0,3,10,5,-8)\) con respecto a la base \(\beta\).

Primero, vamos a igualar el vector a una combinación lineal de los vectores de la base en cuestión. Las coordenadas serán los coeficientes de dicha combinación lineal.

\[a(1,1,1,1,1)+b(1,0,0,0,-1)+c(0,1,0,-1,0)+d(1,1,-4,1,1)+e(1,-1,0,-1,1)=(0,3,10,5,-8)\]

E igualamos coordenada por coordenada:

\[\left\{\begin{array}{c}a+b+d+e=0 \\ a+c+d-e=3 \\ a-4 d=10 \\ a-c+d-e=5 \\ a-b+d+e=-8\end{array}\right.\]

Existe una manera sencilla de resolver este sistema sin tener que esforzarnos demasiado, basándonos en el hecho de que la base es ortogonal. Debido a que el producto interno entre vectores ortogonales es \(0\). Veamos un ejemplo:

Vamos a calcular las coordenadas del vector \((1,2,3)\) en la base ortogonal

\[\beta=\{(1,1,0),(1,-1,0),(0,0,1)\}\]

Normalmente haríamos un sistema para resolverlo. Pero esta vez usaremos las siguientes denominaciones:

\[v=(1,2,3)\]

\[\beta=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}\]

Sabemos que todo vector de un espacio puede ser escrito como una combinación lineal de vectores de una base de dicho espacio. Por tanto:

\[v=\alpha v_{1}+\gamma v_{2}+\varphi v_{3}\]

 Vamos a hacer el producto interno \(\left\langle v, v_{1}\right\rangle\):

\[\left\langle v, v_{1}\right\rangle=\left\langle\alpha v_{1}+\gamma v_{2}+\varphi v_{3}, v_{1}\right\rangle\]

Por la linealidad del producto interno podemos separarlo de la siguiente forma:

\[\left\langle v, v_{1}\right\rangle=\alpha\left\langle v_{1}, v_{1}\right\rangle+\gamma \underbrace{\left\langle v_{2}, v_{1}\right\rangle}_{0}+\varphi \underbrace{\left\langle v_{3}, v_{1}\right\rangle}_{0}\]

Ten en cuenta que \(v_{2}\) y \(v_{1}\), así como \(v_{3}\) y \(v_{1}\) son ortogonales, por tanto, su producto interno es \(0\). Resolviendo los productos internos restantes:

\[\left\langle v, v_{1}\right\rangle=\alpha\left\langle v_{1}, v_{1}\right\rangle\]

\[\langle(1,2,3),(1,1,0)\rangle=\alpha\langle(1,1,0),(1,1,0)\rangle\]

\[3=2 \alpha\]

\[\alpha=\frac{3}{2}\]

Hacemos lo mismo para \(\left\langle v, v_{2}\right\rangle\):

\[\left\langle v, v_{2}\right\rangle=\alpha \underbrace{\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle}_{0}+\gamma\left\langle v_{2}, v_{2}\right\rangle+\varphi \underbrace{\left\langle v_{3}, v_{2}\right\rangle}_{0}\]

\[\left\langle v, v_{2}\right\rangle=\gamma\left\langle v_{2}, v_{2}\right\rangle\]

\[\langle(1,2,3),(1,-1,0)\rangle=\gamma\langle(1,-1,0),(1,-1,0)\rangle\]

\[-1=2 \gamma\]

\[\gamma=-\frac{1}{2}\]

Y, finalmente, para \(\left\langle v, v_{3}\right\rangle\):

\[\left\langle v, v_{3}\right\rangle=\varphi\left\langle v_{3}, v_{3}\right\rangle\]

\[\langle(1,2,3),(0,0,1)\rangle=\varphi\langle(0,0,1),(0,0,1)\rangle\]

\[3=\varphi\]

Entonces, las coordenadas de \((1,2,3)\) en la base \(\beta\) son:

\[[v]_{\beta}=(\alpha, \gamma, \varphi)=\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}, 3\right)\]

Y, de hecho

\[\frac{3}{2} \bullet(1,1,0)-\frac{1}{2} \bullet(1,-1,0)+3 \bullet(0,0,1)=(1,2,3)\]

Mucho más sencillo que resolver a través de sistemas.

Vamos a volver al ejemplo del principio:

\[\beta=\{(1,1,1,1,1),(1,0,0,0,-1),(0,1,0,-1,0),(1,1,-4,1,1),(1,-1,0,-1,1)\}\]

Calcule la quinta coordenada del vector \(v=(0,3,10,5,-8)\) con respecto a la base \(\beta\).

Vamos a resolver a través de producto interno:

\[\left\langle v, v_{5}\right\rangle=\alpha\left\langle v_{5}, v_{5}\right\rangle\]

\[\langle(0,3,10,5,-8),(1,-1,0,-1,1)\rangle=\alpha\langle(1,-1,0,-1,1),(1,-1,0,-1,1)\rangle\]

\[0-3+0-5-8=\alpha(1+1+0+1+1)\]

\[-16=4 \alpha\]

\[\alpha=-4\]

Entonces, la quinta coordenada de \(v\) en la base \(\beta\) es \(-4\).

Recuerda que, sin embargo, esto solo es válido cuando la base es ortogonal. 

Resumen

En conclusión, para escribir un vector \(v\) en una base ortogonal \(\beta=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}\), basta con resolver:

\[\alpha_{i}=\frac{\left\langle v, v_{i}\right\rangle}{\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle}=\frac{\left\langle v, v_{i}\right\rangle}{\left\|v_{i}\right\|^{2}}\]

Para todos los vectores \(v_{i}\) de la base \(\beta\).

Si tuviéramos una base ortonormal, tenemos que \(\left\|v_{i}\right\|^{2}=1\). Por tanto, tenemos que resolver:

\[\alpha_{i}=\left\langle v, v_{i}\right\rangle\]