Proyección en una Base Ortogonal

Uno de los usos de la base ortogonal es hallar la proyección de un vector sobre un espacio cualquiera a través de productos internos.

Vamos al grano. Si \(\beta=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\) es la base ortogonal de \(H\), entonces:

\[P_{H} b=\frac{\left\langle b, v_{1}\right\rangle}{\left\langle v_{1}, v_{1}\right\rangle} v_{1}+\frac{\left\langle b, v_{2}\right\rangle}{\left\langle v_{2}, v_{2}\right\rangle} v_{2}+\ldots+\frac{\left\langle b, v_{n}\right\rangle}{\left\langle v_{n}, v_{n}\right\rangle} v_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left\langle b, v_{i}\right\rangle}{\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle} v_{i}\]

Ejemplo: sea \(H\) el plano en \(\mathbb{R}^{3}\) generado por los vectores \((1,0,1)\) y \((-1,4,1)\), calcule la proyección ortogonal del vector \((1,2,1)\) sobre \(H\).

Como podemos ver, \(\langle(1,0,1),(-1,4,1)\rangle=0\). Tenemos una base ortogonal para \(H\). Siendo así:

\[P_{H} b=\frac{\langle(1,2,1),(1,0,1)\rangle}{\langle(1,0,1),(1,0,1)\rangle}(1,0,1)+\frac{\langle(1,2,1),(-1,4,1)\rangle}{\langle(-1,4,1),(-1,4,1)\rangle}(-1,4,1)=\frac{2}{2}(1,0,1)+\frac{8}{18}(-1,4,1)\]

\[P_{H} b=(1,0,1)+\left(-\frac{4}{9}, \frac{16}{9}, \frac{4}{9}\right)=\left(\frac{5}{9}, \frac{16}{9}, \frac{13}{9}\right)=\frac{1}{9}(5,16,13)\]

Un caso particular es cuando \(H\) es una recta. En ese caso, no tenemos que preocuparnos si la base es ortogonal. Entonces, la proyección de un vector \(b\) en la recta dada por \(v\) es:

\[P_{v} b=\frac{\langle b, v\rangle}{\langle v, v\rangle} v\]

Siendo \(\beta=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\) una base ortonormal de \(H\). 

Un último ejemplo:

Sea \({r}\) la recta en \(\mathbb{R}^{2}\) generado por el vector \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\), calcule la proyección ortogonal del vector \((3,4)\) sobre \(r\).

En este caso, tenemos la proyección en un recta y el vector que genera es ortonormal. Vamos a usar la siguiente fórmula:

\[P_{r} b=\frac{\langle b, v\rangle}{\langle v, v\rangle} v\]

Pero como el denominador será \(1\), podemos simplificarla:

\[P_{r} b=\langle b, v\rangle v\]

Sustituyendo:

\[P_{r} b=\left\langle(3,4),\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\rangle\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]

\[P_{r} b=\left(3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]

\[P_{r} b=\frac{7}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)\]