Operadores Autoadjuntos y Ortogonales

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

Vamos a comenzar recordando lo que es un operador lineal, que no es más que una transformación lineal cuyo dominio y codominio son iguales.

Operadores Autoadjuntos

Entonces, sea \(V\) un espacio vectorial, tenemos que el operador lineal \(T: V \rightarrow V\) es autoadjunto si la matriz que lo representa en una base ortonormal \(\beta\) de \(V\) es simétrica. Si, esto aplica para cualquier base ortonormal.

Ejemplo:

El operador \(T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) dado por \(T(x, y)=(4 x+2 y, 2 x+5 y)\) es simétrico.

Si escribimos su matriz en la base canónica (que es una base ortonormal de \(\mathbb{R}^{2}\)) tendremos:

\[[T]_{\epsilon}=\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 2 & 5\end{array}\right]\]

Como la matriz es simétrica, el operador es simétrico.

Entonces, el problema aparece cuando se define un producto interno diferente para el espacio en cuestión. Cuando esto sucede, la base canónica puede dejar de ser ortonormal.

¡Pero no te preocupes, existe una propiedad de los operadores adjuntos que puede ser muy útil ahora! Entonces, todo operador adjunto obedece a la siguiente igualdad para dos vectores \(u\) y \(v\) cualquiera:

\[\langle T(u), v\rangle=\langle u, T(v)\rangle\]

Para probarlo podemos usar tanto vectores genéricos como probar dos a dos vectores de una base del dominio de \(T\).

Propiedades

A continuación, algunas de las propiedades de los operadores autoadjuntos. Si \(T\), \(U: V \rightarrow V\) son operadores simétricos:

\(\bullet\) \(\langle T(u), v\rangle=\langle u, T(v)\rangle\)

\(\bullet\) \(T+U\) es simétrico.

\(\bullet\) \(kT\), \(k \in \mathbb{R}\), es simétrico. 

\(\bullet\) \(TU\) es simétrico si, y solamente si, \(TU=UT\).

\(\bullet\) \(T^{-1}\) es simétrico. 

Operadores Ortogonales

Sea \(V\) un espacio vectorial, tenemos que el operador lineal \(T: V \rightarrow V\) es ortogonal si la matriz que lo representa en una base ortonormal \(\beta\) de \(V\) es ortogonal. También es válido para cualquier base ortonormal.

Ejemplo:

El operador \(T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\) dado por \(T(x, y)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{2} y,-\frac{1}{2} x+\frac{\sqrt{3}}{2} y\right)\) es ortogonal.

Si escribimos la matriz de \(T\) en la base canónica, que es una base ortonormal, tendremos:

\[[T]_{\epsilon}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right]\]

Si la matriz es ortogonal, entonces \(\left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right),\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\}\) es un conjunto ortonormal. De hecho:

\[\left\langle\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right),\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\rangle=0\]

\[\left\langle\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right),\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\right\rangle=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1\]

\[\left\langle\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right),\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\rangle=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\]

Los vectores son ortogonales y tienen norma \(1\), por tanto, \(T\) es ortogonal.

Nuevamente, el problema comienza cuando definimos un nuevo producto interno. Pero también existe una propiedad del producto interno. En realidad, son dos. Todo operador ortogonal obedece a las siguientes igualdades para dos vectores \(u\) y \(v\) cualquiera:

\[|T(u)|=|u|\]

\[\langle T(u), T(v)\rangle=\langle u, v\rangle\]

¡Eso es todo amigos, vamos a los ejercicios!