Energía Cinética de Rotación

Rotación pura

Pensemos en una situación intrigante. Supongamos que estás girando una manivela que mueve una rueda grande, como en la imagen a continuación:

La rueda gigante tiene masa \(M\) y radio \(R\). Luego aplicas fuerza al extremo de la manivela, haciendo que el disco comience a girar. Si te preguntaran qué energía se gasta en este movimiento, ¿cómo lo sabrías?

Si pensáramos en lo que ya hemos aprendido sobre la energía de movimiento, pensaríamos en esto:

• Energía cinética traslacional: el centro de masa de la rueda no se mueve, por lo que la velocidad es cero. Dado que la energía cinética que estudiamos viene dada por \(\frac{m v^{2}}{2}\), esta energía es cero.

Si dijéramos que la energía gastada para poner la rueda en movimiento es cero, ¿lo creerías? No lo creo, ¿verdad?

¡Tu intuición no te engañó! Aprendamos aquí sobre la energía cinética de rotación, que se utiliza en estos casos.

En problemas de energía, el enfoque será el mismo que se aprendió en Dinámica Traslacional, CONSERVAREMOS LA ENERGÍA MECÁNICA. Solo que esta vez tendremos cuidado con el término extra que puede surgir.

Bien, pero ... ¿Cómo calculo esta energía rotacional?

¡Simple! Sólo utilice la fórmula:

\[K_{\text {rotaçao}}=\frac{I \omega^{2}}{2}\]

Donde:

• \(K_{r o t a c i o n}\) es la energía cinética de rotación;

• \(I\) es el momento de inercia del cuerpo;

• y \(\omega\) es la velocidad angular del cuerpo en el instante deseado.

Una manera de facilitar la memorización no solo de esta fórmula, sino de muchas otras aquí en Dinámica de Rotación es pensar en "hermanitos".

• La masa (\(m\)) del movimiento traslacional es "hermanita" del momento de inercia (\(I\));

• La velocidad lineal(\(v\)) es"hermanita" de la velocidad angular(\(\omega\)).

Así que solo hay que recordar la fórmula de la energía cinética de rotación:

\[K_{\text {traslación}}=\frac{m v^{2}}{2}\]

Y si memorizamos a las pequeñas hermanas, es fácil recordar la fórmula de la \(K_{r o t a c i o n}\).

Rotación + traslación + gravitacional

Hay situaciones en las que los cuerpos realizan ambos tipos de movimiento, por lo que tenemos que contar más de un tipo de energía en los ejercicios. ¡Vamos a un ejemplo!

La barra en la figura a continuación tiene una masa \(M\) y un tamaño \(L\) y está asegurada a nivel del suelo en un extremo. Su otro extremo es abandonado desde una altura \(h\) del nivel del suelo. ¿Cuál es la velocidad lineal del extremo libre cuando alcanza el nivel del suelo?

El problema se resuelve mediante la conservación de la energía mecánica.

\[E_{\text {antes}}=E_{\text {después}}\]

\[E_{P i}+K_{T_{i}}+K_{R_{i}}=E_{P_{f}}+K_{T f}+K_{R f}\]

Como al principio la barra está detenida entonces solo hay energía potencial, ya que es un cuerpo, tenemos en cuenta la energía en relación al centro de masa:

La energía cinética traslacional \(K_{T}\) y la energía cinética rotacional \(K_{R}\) al principio son nulas ya que la barra está completamente detenida. Al final tendremos energía cinética rotacional y traslacional, ya está a nivel del suelo.

\[E_{P i}=K_{T_{f}}+K_{R f}\]

Energía potencial gravitacional: Para el cálculo de esta energía, utilizamos la altura del centro de masa de la barra. Entonces:

\[E_{P i}=M g \frac{h}{2}\]

Ya para la situación final:

Energía cinética rotacional: de la cinemática de rotación, obtenemos una relación entre la velocidad lineal del extremo y la velocidad angular de la barra (QUE ES LA MISMA PARA TODOS LOS PUNTOS DE LA BARRA!)

\[v=\omega L \rightarrow \omega=\frac{v}{L}\]

\[K_{R_{f}}=\frac{I \omega^{2}}{2}=\frac{I v^{2}}{2 L^{2}}\]

¡Excelente! ¡Ya casi llegamos! Apliquemos ahora la conservación de la energía mecánica:

\[E_{P i}=K_{T_{f}}+K_{R f}\]

\[M g \frac{h}{2}=\frac{M v^{2}}{2}+\frac{I v^{2}}{2 L^{2}}\]

Como el momento de inercia de una barra de masa \(M\) y longitud \(L\), unida por el extremo, es:

\[I=\frac{M L^{2}}{3}\]

(¡No te preocupes! ¡Generalmente te dan estas expresiones de momento de inercia!)

Tenemos:

\[M g \frac{h}{2}=\frac{M v^{2}}{2}+\frac{M v^{2}}{6}\]

Resolviendo la ecuación para encontrar el valor de la velocidad

\[g h=v^{2}+\frac{v^{2}}{3}=\frac{4 v^{2}}{3}\]

\[v=\frac{\sqrt{3 g h}}{2}\]

¡Bien! Pudimos aplicar los conceptos de energía cinética de rotación para resolver un problema completo. ¡Practiquemos!