Momento Angular

¿Qué es el momento angular?

¿Conoces la hermandad entre rotación y traslación? En la rotación tenemos un hermanito del momento lineal, llamado momento angular. Qué sorpresa, ¿verdad?

Aquí continuaremos viendo que la rotación tiene cosas muy similares a la traslación, solo cambiando algunas variables. ¡Esto ayuda mucho a memorizar las fórmulas!

¿Cómo calcular el momento angular?

Bien, hasta ahora has visto que existe el momento angular, pero ¿cómo lo calculas?

Fácil:

\[\vec{L}=\vec{r} \times \vec{p}\]

Donde \(\vec{r}\) es el brazo o el vector de distancia, \(\vec{p}\) es nuestro amigo momento lineal y \(\vec{L}\) el momento angular.

Por lo general, esta fórmula se usa para calcular el momento angular de cuerpos pequeños.

Podemos recordar que cuando tenemos un producto vectorial, podemos usar lo siguiente:

\[|\vec{L}|=L=m v r\operatorname{sen} \theta\]

Y luego, cuando \(\vec{r}\) y \(\vec{p}\) son perpendiculares:

\[|\vec{L}|=L=m v r\]

La otra manera para los cuerpos extensos, es el momento de inercia:

\[\vec{L}=I \vec{\omega}\]

Donde el momento angular tendrá la dirección de la velocidad angular. ¡Recordando que la dirección y el sentido del vector de velocidad angular es dado por la regla de la mano derecha!

¿Cómo relacionar el momento angular y el torque?

¿Recuerdas cuál es la principal función del momento lineal?

Su variación provoca la aparición de fuerzas, como:

\[\frac{d \vec{p}}{d t}=\vec{F}\]

La rotación no es tan diferente, pero sabemos que habrá un cambio de variables.

• El momento lineal \(\vec{p}\) se convierte en el momento angular \(\vec{L}\);

• La fuerza \(\vec{F}\) se convierte en el torque \(\vec{τ}\).

Entonces:

\[\vec{\tau}=\frac{d \vec{L}}{d t}\]

Análisis de gráficos

Hay muchas variables deambulando en tu cabeza, ¿verdad?

Veamos cómo esas variables aparecen más: en el análisis de gráficos que las relacionan.

Mira este gráfico \(L x t\):

La pregunta es, ¿qué informaciones podemos aprender de este gráfico?

Aprendimos anteriormente que:

\[\frac{d L}{d t}=\tau\]

En el gráfico, vimos que la variación del momento angular con el tiempo sigue una relación lineal, por lo que podemos decir que el torque es constante!

La pendiente/inclinación de la recta define el valor del torque:

\[\operatorname{tg} \alpha=\tau\]

Si tenemos más información sobre el cuerpo que está siendo analizado, ¡podemos ir más allá! Conociendo el momento de inercia, usamos la segunda ley de Newton de la rotación:

\[\tau=I \alpha\]

Y encontramos la aceleración angular a la que el cuerpo está sujeto.

Otro gráfico común es el de torque por tiempo, \(\tau x t\):

Aquí tenemos una curva aleatoria del torque que varía con el tiempo. ¿Qué harías si te preguntaran el momento angular que actúa sobre el cuerpo en el momento \(T\)?

Vayamos a las ecuaciones:

\[\frac{d L}{d t}=\tau(t)\]

\[d L=\tau(t) d t\]

Si integramos en ambos lados:

\[\int_{L_{1}}^{L_{2}} d L=\int_{0}^{T} \tau(t) d t\]

Por lo tanto, si consideramos que el momento angular en el instante \(t=0\) es nulo, el momento angular en el tiempo \(T\) es el área sobre el gráfico hasta el punto \(T\).

Tenemos más un concepto, pero es necesario practicar para entenderlo totalmente. ¡A trabajar, mis amigos!