Cálculo del Momento de Inercia en Cuerpo Extensos

Has visto lo fácil que es el cálculo del momento de inercia en el sistema de partículas, pero ahora la cosa se vuelve más seria. Aprendamos aquí cómo calcular el momento de inercia en cuerpos grandes.

Aquí todo se complica un poco porque necesitas resolver la siguiente integral:

\[I=\int r^{2} d m\]

Aquí es donde piensas: "Al cabo que ni quería ser aprobado".

¡Relájate, estudiante! ¿Crees que te defraudaré?

Veamos paso a paso un ejemplo aquí para entender mejor todo esto.

Aprendamos cómo resolver la integral para calcular el momento de inercia de una barra homogénea en relación al eje que pasa por el medio de su longitud.

Consideremos una barra de masa \(M\) y una longitud \(L\). Se considera para este cálculo que las otras dimensiones de la barra son insignificantes en comparación con \(L\).

El primer paso es recordar la ecuación.

\[I=\int r^{2} d m\]

Después de eso, debemos recordar que para realizar una integral simple, toda expresión dentro de la integral debe ser función de una sola variable.

Para esto, necesitamos encontrar la relación de \(m\) con \(r\), que es la distancia desde la pequeña pieza de masa \(d m\) hasta el eje.

Usemos el enunciado. Allá él dice que la barra es homogénea. ¿Que significa eso?

Demostremos en ecuaciones que se vuelve más fácil. Cuando un cuerpo es homogéneo, tenemos:

\[\frac{d m}{d l}=\frac{M}{L}=c t e\]

Es decir, la relación entre masa y longitud es siempre constante. De este modo podemos usar que:

\[d m=\frac{M}{L} d l\]

¡Ya casi llegamos! Ese \(l\) se convierte en \(r\), si tenemos en cuenta que haremos nuestra integral en relación con el eje de rotación especificado. Por lo tanto:

\[I_{b a r r a}=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} r^{2} \frac{M}{L} d r\]

Resolviendo esta integral:

\[I_{b a r r a}=\left.\frac{M}{L} \frac{r^{3}}{3}\right|_{-\frac{L}{2}} ^{\frac{L}{2}} \rightarrow I_{b a r r a}=\frac{M L^{2}}{12}\]

Suena complicado ¿verdad?

¡Pero pocas veces tendrás que hacer todo este proceso porque alguien ya lo ha hecho una vez! Esta tabla tiene los momentos de inercia de las formas más comunes.

¡Excelente! ¡Practiquemos!