Colisiones con Rotación

Aprendamos aquí un tipo de problema un poco más complejo, que, aunque es similar al tipo de problemas vistos en Dinámica de Traslación, tiene sus particularidades.

Observa este ejemplo:

Una barra de masa \(M\) y tamaño \(L\) descansa sobre una mesa sin fricción, pegada en la mesa por su centro de masa. Una bolita de masa \(m\) se aproxima de uno de los extremos de la barra con velocidad \(v\). Si la colisión es elástica, ¿cuál es la velocidad angular de la barra después de la colisión?

Ya hemos visto cómo resolver este problema cuando la colisión es inelástica, pero ¿y ahora qué?

Tomémoslo con calma, sin desesperación.

En primer lugar, debemos reconocer que este problema utilizará la conservación del momento angular, ya que no hay torques externos que actúen sobre el sistema, pero aquí hay una diferencia en la situación después del choque:

Para la situación inicial, tenemos lo mismo:

\[\vec{L}_{a n t e s}=\frac{m v L}{2} \hat{k}\]

Sin embargo, después del choque, tenemos:

\[\vec{L}_{d e s p u e s}=\left(I_{b a r r a} \omega-\frac{m v^{\prime} L}{2}\right) \hat{k}\]

¿Cómo encontrar el valor de \(v^{\prime}\)? Tendremos que usar otro concepto de conservación: el de conservación de energía.

Vamos entonces, sin quejarse:

\[E_{\text {antes}}=E_{\text {despues}}\]

Antes del choque, solo tenemos la bolita en movimiento:

\[E_{\text {antes}}=\frac{m v^{2}}{2}\]

La energía del sistema después del choque proviene tanto del movimiento de retorno de la pelota como de la rotación de la barra, entonces:

\[E_{\text {depois}}=\frac{m v^{2}}{2}+\frac{I_{b a r r a} \omega^{2}}{2}\]

El valor utilizado para la energía de rotación de la barra depende de nuestra principal incógnita, \(\omega\).

Al igualar las energías, tenemos el valor de \(v^{\prime}\) (en función de \(\omega\)):

\[\frac{m v^{2}}{2}=\frac{m v^{2}}{2}+\frac{M L^{2}}{12} \frac{\omega^{2}}{2} \rightarrow v^{\prime}=\sqrt{v^{2}-\frac{M L^{2} \omega^{2}}{12 m}}\]

Ahora podemos volver a la conservación del momento angular. Como tienen el mismo sentido, haré las ecuaciones solo con el módulo:

\[L_{\text {antes}}=L_{\text {depois}}\]

\[\frac{m v L}{2}=\frac{M L^{2}}{12} \omega-\frac{m v^{\prime} L}{2}\]

\[m v L=\frac{M L^{2}}{6} \omega-m L \sqrt{v^{2}-\frac{M L^{2} \omega^{2}}{12 m}}\]

Dejando el miembro con raíz solo en un lado y elevando al cuadrado:

\[m^{2} L^{2}\left(v^{2}-\frac{M L^{2} \omega^{2}}{12 m}\right)=\frac{M^{2} L^{4}}{36} \omega^{2}-\frac{M m v L^{3}}{3} \omega+m^{2} v^{2} L^{2}\]

\[\left(\frac{M^{2} L^{4}}{36}+\frac{M m L^{4}}{12}\right) \omega^{2}=\frac{M m v L^{3}}{3} \omega\]

\[\omega=\frac{\frac{m v M L^{3}}{3}}{\frac{M L^{4}}{12}\left(\frac{M}{3}+m\right)} \rightarrow \omega=\frac{12 m v}{L\left(\frac{M}{3}+m\right)}\]

Este tipo de problema se vuelve un poco grande cuando lo hacemos todo literalmente, pero por lo general los maestros ponen valores bonitos para que las cuentas funcionen al final. Este tipo de problema requiere mucha práctica, especialmente para que no te pierdas en el examen. ¡Así que asegúrate de hacer los ejercicios!