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Calculisto

Conservación del Momento Angular

Conservación del momento angular, ¿funciona igual que el momento lineal?

Aquí tenemos una cosa más en la que la Dinámica de Rotación se asemeja a la Dinámica de Traslación.

Ahora tenemos un concepto más que nos ayudará a montar nuevas ecuaciones para resolver los ejercicios.

Como lo hicimos antes, recordemos al "hermanito" de este concepto:

Ok, ese era el concepto en la traslación. Ahora tenemos que cambiar las variables. ¡Entonces vamos!

  • El momento lineal se convierte en momento angular (recordando que la conservación es vectorial, es decir, la dirección y el sentido del momento angular también deben conservarse);

  • "Fuerzas" se sustituyen por "torques";

Hablemos de un punto específico del concepto. El análisis de conservación es EN EL SISTEMA, ¡tenga mucho cuidado con esto!

Veamos un ejemplo rápido, que te aparecerá muchísimo en el futuro.

Tenemos una plastilina de masa \(m\) que se aproxima con velocidad \(v\) de una barra homogénea de masa \(M\) y tamaño \(L\), sostenida en una mesa por su centro de masa. Después de la colisión, la plastilina se pega a la barra. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra justo después de la colisión?

Leyendo el ejemplo, sabes que utilizaremos la conservación del momento angular, pero ¿y en el examen ? ¿Cómo descubrirías que debes usar esto?

 

Analizando la situación inicial, la barra está en reposo y, después del choque, la barra sufre un torque, porque hay una fuerza de interacción entre la plastilina y la barra. Entonces podrías pensar que, como hay un torque actuando la conservación puede desconsiderarse.

 

NO!! Por eso repetí que el análisis se hace EN EL SISTEMA. Entonces, comencemos de nuevo.

Analizando el sistema, tenemos que no hay fuerzas externas que actúen sobre él, ni antes ni después de la colisión. Entonces podemos usar la conservación del momento angular.

\[\vec{L}_{\text {antes}}=\vec{L}_{\text {despues}}\]

NOTA IMPORTANTE! Tu sabes que los momentos angulares se calculan en relación a un eje, ¡no olvides que \(\vec{L}_{\text {antes}}\) e \(\vec{L}_{\text {despues}}\) deben calcularse con respecto al mismo eje!

 

Antes de la colisión, tenemos la barra detenida y la masa moviéndose con velocidad \(v\). Recordando aquí que en el "antes de la colisión", tal como lo hacíamos en la conservación de la cantidad de movimiento, consideramos que los cuerpos están tan cerca, pero tan cerca, que ya están pegados, pero sin considerar la interacción entre ellos.

Si consideramos el eje \(z\) con el sentido positivo saliendo de la pantalla de la computadora, tenemos:

\[\vec{L}_{a n t e s}=\frac{m v L}{2} \hat{k}\]

Después del impacto, tenemos una barra con una masa pegada en la punta, que gira con velocidad angular \(\omega\). Usando la regla de la mano derecha para definir el sentido del vector, tenemos:

\[\vec{L}_{\text {después}}=I_{\text {sistema}} \omega \hat{k}\]

Sabemos que el momento de inercia de una barra de masa \(M\) y tamaño \(L\) relativo al centro de masa está dada por:

\[I=\frac{M L^{2}}{12}\]

Pero no podemos olvidar que tenemos una plastilina de masa \(m\) pegada a la barra! Por lo tanto:

\[I_{\text {sistema}}=\frac{M L^{2}}{12}+m\left(\frac{L}{2}\right)^{2}\]

Entonces:

\[\vec{L}_{\text {después}}=\left(\frac{M L^{2}}{12}+\frac{m L^{2}}{4}\right) \omega \hat{k}\]

Combinando los resultados de los momentos angulares:

\[\frac{m v L}{2} \hat{k}=\frac{L^{2}}{4}\left(\frac{M}{3}+m\right) \omega \hat{k}\]

Llegamos entonces al valor de la velocidad angular:

\[\vec{\omega}=\frac{2 m v}{L\left(\frac{M}{3}+m\right)} \hat{k}\]

¡Llegamos al resultado!

 

Antes de terminar, hay un apéndice. Tenemos que prestar atención cuando hay cambio en el momento de inercia. Mira esto:

 

Imagina que estás ahí girando una piedra de masa \(m\) atada a un hilo de longitud \(L\), aplicando una velocidad angular \(\omega\). Si alargas el hilo para aumentar su longitud para \(L^{\prime}\), ¿cuál será la nueva velocidad angular de la piedra?

 

Sabemos que el momento de inercia cambia cuando aumentamos el hilo:

\[I=m L^{2} \rightarrow I^{\prime}=m L^{\prime 2}\]

Y conservando el momento angular, tendríamos:

\[I \omega=I^{\prime} \omega^{\prime}\]

Y luego:

\[\omega^{\prime}=\frac{I}{I} \omega \rightarrow \omega^{\prime}=\frac{L^{2}}{L^{2}} \omega\]

La cuenta en sí no es tan complicada, ¿verdad? Pero tenemos que tener mucho cuidado para saber cuándo usar la conservación. Solo nos queda una cosa que hacer: ¡practicar!

 

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