Torque

Torque

En el estudio de la estática aprendimos un concepto llamado torque. Aquí, en la dinámica de rotación, el torque será fundamental para el análisis de los movimientos.

La definición sigue igual:

\[\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}\]

Donde \(\vec{r}\) es el vector de la posición del punto de aplicación de la fuerza en el eje de rotación, este vector también se conoce como brazo de palanca.

El \(\times\) se llama producto vectorial. Por eso, el torque es una magnitud vectorial, por lo tanto, tiene módulo, dirección y sentido. ¿Pero cómo lo resuelves todo?

- Dirección del Torque

Imagina una barra de tamaño \(L\) que está en el eje \(x\). Supongamos también que existe una fuerza \(\vec{F}\), que actúa en el extremo que está a una distancia \(L\) del origen y forma un ángulo \(\theta\) con el vector \(\vec{r}\). La imagen te dará una mejor idea.

Ese vector \(\vec{F}\) hace que nuestro objeto gire en sentido antihorario, ¿correcto? Mira

Para saber la dirección y sentido del vector, gira tu mano en el mismo sentido de la tendencia de rotación que \(\vec{F}\) hace

En este caso el torque apunta para fuera de la página

¿Y si estuviera en el sentido contrario??? En el sentido horario de rotación el torque apunta hacia dentro de la página

¿Todo bien?

- Módulo del Torque:

El módulo del torque es

\[\tau=r F \operatorname{sen} \theta\]

Una cosa importante aquí es que si \(\vec{r}\) y \(\vec{F}\) son paralelos, el ángulo entre ellos será \(0\) y el torque será nulo! Eso es porque

\[\theta=0 \rightarrow \operatorname{sen}(0)=0 \rightarrow \tau=r F \operatorname{sen}(0)=0\]

Será este caso de aquí:

Tiene mucho sentido, ¿verdad? ¡La fuerza, de ese modo, nunca girará nuestro objeto!

Relación entre el Torque y la Aceleración Angular

Continuemos con este ejemplo:

Cuando yo aplico en esta barra, la fuerza \(\vec{F}\) ella girará, ¿correcto? ¿Qué pasa si te pregunto cuál es la aceleración lineal del centro de masa de esta barra? ¿Cómo actuarías? ¿Llorar? No! Cálmate, todo estará claro como la nieve dentro de poco. =]

Hemos aprendido lo que es el torque:

\[\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}\]

Sin embargo, tenemos otra relación para el torque que es muy importante, especialmente para este ejemplo. ¡Mira esto!

\[\vec{\tau}=I \vec{\alpha}\]

Eso es! Esta fórmula te ayuda a encontrar la aceleración angular \(\alpha\) del cuerpo si conoces el torque total que actúa sobre este mismo cuerpo.

Intentemos usar esta fórmula para resolver el ejemplo que se dio.

Primero tenemos que encontrar el torque total que actúa sobre el cuerpo. Para esto usaremos el concepto que hemos aprendido.

Dado que el eje de rotación del cuerpo es el extremo que está preso de la barra, tenemos:

\[\tau=F r \operatorname{sen} \theta\]

Como el tamaño del vector \(\vec{F}\) es el tamaño \(L\) de la barra

\[\tau=F L \operatorname{sen} \theta\]

Podemos relacionar el torque con la aceleración angular por

\[\tau=I \alpha \rightarrow \alpha=\frac{\tau}{I}\]

El momento de inercia de una barra es \(I=M L^{2} / 3\). Sustituyendo todo lo que sabemos:

\[\alpha=\frac{L F \operatorname{sen} \theta}{\frac{M L^{2}}{3}} \rightarrow \alpha=\frac{3 F \operatorname{sen} \theta}{M L}\]

¡Perfecto! Pero no podemos parar aquí. Recuerda que la aceleración angular SIEMPRE es la misma para todos los puntos de un cuerpo rígido.

Usaremos un concepto sencillo de la cinemática de rotación:

\[a=\alpha r\]

Dado que \(r\) es la distancia entre el eje de rotación y el punto donde deseas obtener la aceleración lineal, tenemos que el centro de masa está a una distancia \(r=L / 2\) del eje de rotación, por lo tanto:

\[a_{C M}=\alpha r=\alpha \frac{L}{2}\]

Sustituyendo el valor de \(\alpha\):

\[a_{C M}=\frac{3 F \operatorname{sen} \theta}{M L} \frac{L}{2}\]

\[a_{C M}=\frac{3}{2} \frac{F \operatorname{sen} \theta}{M}\]

¿Todo bien? ¡Así es como se usa el torque!

Eso es todo, ¡asegúrate de practicar!