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Calculisto

Poleas No Ideales

Cada vez que comienzas a ver en física algo como "no ideal" es una señal de que estás evolucionando en el estudio.

 

Pero, ¿qué crees que influirá en la polea el hecho de que no sea ideal? Normalmente decimos que tiene masa y ese hecho cambia mucho, pero ¿qué?

 

¡Ahora estás aprendiendo la Dinámica de la Rotación! Y estás listo para evaluar cómo esta masa modificará el movimiento general.

 

No hay mejor manera de explicar esto que con un ejemplo.

 

Supongamos que tenemos una polea y una masa como la imagen:

Hemos visto algo muy similar a esto antes. Pero, ¿y si te pregunto por la aceleración angular de la polea? ¿Se complica un poco?

 

¡Así que vamos a simplificarlo juntos! Vamos paso a paso.

Paso 1

Ya hemos aprendido cómo obtener la aceleración angular de los cuerpos a partir del torque total que actúa sobre él. Simplemente use la siguiente relación:

\[\tau=I \alpha\]

En esta relación tenemos:

  • \(\tau\) - El torque, que no tenemos, pero que podemos calcular a partir de las fuerzas que actúan sobre la polea;

  • \(I\) - El momento de inercia, que es constante;

  • \(\alpha\) - La aceleración angular, que es lo que queremos encontrar.

Paso 2

Necesitamos analizar las fuerzas que actúan sobre la polea, porque allí tenemos el valor de \(\tau\). Tenemos el siguiente diagrama de cuerpo libre (DCL):

Nuestro eje de rotación pasa por el centro de la polea, ¡bien por nosotros! Por lo tanto, podemos ignorar tanto la fuerza de peso como la fuerza de reacción \(F_{R}\). Calculando el torque, entonces:

\[\tau=T R\]

Paso 3

Necesitamos encontrar una expresión para la fuerza de tracción. Para esto, haremos un DCL para el bloque:

Usando la segunda ley de Newton, tenemos:

\[P-T=m a\]

\[T=m(g-a)\]

Paso 4

Juntando todos los resultados obtenidos hasta ahora , tenemos:

\[\tau=I \alpha=T R\]

\[T=m(g-a)\]

Si los combinamos todos:

\[I \alpha=m(g-a) R\]

Bueno, tenemos \(I\), \(m\), \(g\) y \(R\), pero \(a\) y \(\alpha\) todavía son desconocidos. ¿¿¿Qué hacemos???

 

Calma joven. Cuando los cálculos no nos salvan, pensamos en una solución física para relacionar las variables.

 

Dado que la cuerda no se desliza sobre la polea, la aceleración con la que cae el bloque es la misma aceleración lineal de cualquier punto de la polea, entonces:

\[a=\alpha R\]

Paso 5

En este paso final, utilizaremos la ecuación combinada con lo que descubrimos en el último paso.

\[I \alpha=m(g-\alpha R) R\]

\[\alpha\left(I+m R^{2}\right)=m g R\]

Como el momento de inercia del disco viene dado por \(\frac{M R^{2}}{2}\):

\[\alpha=\frac{2 m}{M+2 m} \frac{g}{R}\]

¡Finalmente llegamos a la respuesta! ¿Suena complicado? ¡Pero ten la seguridad de que después de practicar un par de veces te convertirás en un as!

 

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