Rodamiento sin Deslizamiento

¿Qué es un Rodamiento sin Deslizamiento?

Ya hemos estudiado los movimientos de traslación y rotación. Y si juntamos los dos, ¿qué pasa?

Tenemos el movimiento de rodamiento. El ejemplo más simple que puedo darte es una rueda rodando sobre una superficie.

De acuerdo, ¿y qué tiene de interesante? Ya hemos visto que en el movimiento de rotación cada punto en una rueda de radio \(R\) que gira con una velocidad angular \(\omega\) tiene una velocidad lineal dada por \(v=\omega R\).

Si el centro de masa de esta rueda también se mueve con una velocidad \(v_{C M}\), entonces cada punto del que hablamos anteriormente tendrá su velocidad modificada, es decir, tenemos que agregar para cada punto la velocidad \(v_{C M}\).

¡Esto es mucho más fácil de ver con esta imagen!

Este es el caso de rodamiento sin deslizamiento. Tiene dos puntos principales que necesitas saber en este caso:

- La velocidad del centro de masa está relacionada con la velocidad angular por

\[v_{C M}=\omega R\]

Y si derivamos esta ecuación con respecto al tiempo también tenemos que

\[a_{C M}=\alpha R\]

- La velocidad lineal resultante del punto de contacto de la rueda con el suelo es nulo. Si el cuerpo se deslizara en este punto, la velocidad sería diferente de cero.

MIRA ESTO:

Hagámoslo más fácil, imagina que este disco está pintado con varias bolas de pintura, y estas bolas pueden pintar el piso donde tocan.

En el primer rectángulo, tenemos lo que sucede en este movimiento. Como no hay deslizamiento, en cada punto que toca el suelo, el disco deja una marca como la pintada en él.

Ya en el segundo rectángulo, es lo que sucedería si hubiera deslizamiento. Habría manchas en el suelo, lo que demuestra que hay deslizamiento junto con el rodamiento.

Bien, entonces tenemos el punto de contacto siempre en reposo cuando no hay deslizamiento.

Separemos el movimiento en dos casos que necesitan un análisis diferente: cuando el eje de rotación tiene una velocidad constante y cuando el eje tiene una aceleración constante.

Movimiento del centro de masa con velocidad constante

En este caso, el hecho de que no haya aceleración en el cuerpo nos muestra que no hay tendencia a deslizarse en el punto de contacto.

Entonces el cuerpo avanza con velocidad del centro de masa y velocidad angular constantes.

Movimiento del centro de masa con aceleración constante

Mira este ejemplo:

Sobre una una rueda con radio \(R\), actúa una fuerza \(\vec{F}\) como se muestra en la figura. ¿Cuál es el valor de la aceleración de la rueda?

?

En la imagen de arriba, mostramos las fuerzas que actúan sobre la rueda.

La fuerza de fricción apunta hacia la izquierda. Cuando desees descubrir el sentido de la fuerza de fricción, piensa en el punto de contacto. El punto de contacto \(O\) tiende a deslizarse hacia qué lado? A la derecha, ¿verdad? ¿Por qué? Porque la velocidad del centro de masa apunta hacia la derecha (y es ella quien está aumentando)! Entonces \(F_{a t}\) apuntará hacia la izquierda.

Otra cosa importante aquí es que estamos usando fricción estática, ¿ves? Esto se debe a que este punto de contacto está parado ;)

Primero escribimos la segunda ley de Newton para el movimiento horizontal de esta rueda

\[M a=F-F_{f r}\]

Cool! Simplemente nos falta la fuerza de fricción, así que solo use

\[F_{f r}=\mu N\]

¿Correcto?

Incorrecto! ¡Tenga cuidado de no caer en esta broma! La \(F_{a t}\) sólo vale cuando ella es máximo!

Pero ... ¿y ahora qué? ¿Cómo encontrar el valor de \(F_{a t}\)?

Bueno, estamos hablando de rotación ¿verdad? ¿Qué fuerzas ejercen torque? ¡Sólo la fricción! Esto se debe a que todas las demás fuerzas apuntan hacia el centro de masa de la rueda.

Si escribimos la hermanita de la segunda ley de Newton

\[\tau=I \alpha\]

El torque, \(\tau\), estará dado por

\[\tau=F_{f r} R\]

Dado que estamos tratando con una rotación sin deslizamiento, podemos usar

\[a=\alpha R\]

Sustituyendo , tenemos:

\[F_{f r} R=I \alpha \rightarrow F_{f r} R=\frac{I a}{R}\]

\[F_{f r}=\frac{I a}{R^{2}}\]

Ahora podemos volver a nuestra otra ecuación

\[M a=F-F_{f r}=F-\frac{I a}{R^{2}}\]

Aislando la aceleración

\[M a+\frac{I a}{R^{2}}=F \rightarrow a+\frac{I a}{M R^{2}}=\frac{F}{M}\]

\[a\left(1+\frac{I}{M R^{2}}\right)=\frac{F}{M}\]

\[a=\frac{F / M}{1+\frac{I}{M R^{2}}}\]

¡Y aquí está nuestra aceleración!

Energía Mecánica en el Rodamiento sin Deslizamiento

Cuando una bola rueda sin deslizarse, ¿puedes decir cual es la energía mecánica que está involucrada en el movimiento?

Es posible que hayas pensado: "Ahh es la energía cinética", y tienes toda la razón. Pero no es cualquier energía cinética, será la energía cinética de rotación más la de traslación. Pero todavía hay cómo complicar todo, y si la pelota está acelerando?

Si no hay deslizamiento, podemos decir que hay una conservación de la energía mecánica que se compone de:

\[E_{p}+K_{\text {Trans}}+K_{R o t}=E_{\text {mec}}\]

Pero no habíamos hablado de la fuerza de fricción aquí? ¿Se conserva la energía en este caso?

La respuesta es SI! Pero cómo hace eso?

En el caso de un rodamiento sin deslizamiento, el punto de contacto con el suelo está parado, ¿verdad? Aquí es donde la fricción actúa también.

La energía que la fricción le quitaría al sistema tendría que ser de su trabajo

\[W_{F_{f r}}=F_{f r} d\]

Sólo que el punto de contacto con el suelo de la rueda está parado! Es decir, el desplazamiento es \(0\), lo que significa que el trabajo realizado por la fricción también es cero, ¡conservando así la energía mecánica!

Lo que está haciendo la fricción aquí es convertir la energía cinética traslacional en energía cinética rotacional.

¡¡¡Ahora vamos a los ejercicios!!!