Transformaciones Lineales Geométricas

Transformaciones Lineales Geométricas

Introducción

 

Ya sabemos que toda \(TL\) puede ser representada por una matriz, sin embargo, existen matrices especiales de las cuales hablaremos en esta ocasión.

 

Son matrices que representan transformaciones geométricas. Por ejemplo, aplicando esta matriz a un vector podemos hallar su proyección, su reflexión, ampliarlo, disminuirlo, y su cizallamiento… 

 

Cabe destacar que todas estas matrices son lineales. 

 

Hasta ahora solo hemos visto matrices aparentemente “aleatorias” que no hacían nada en específico. Estas simplemente hacían operaciones con las componentes de los vectores. A continuación, veremos que algunas de estas si tienen propósito.

 

Cabe resaltar que en esta ocasión solo veremos la proyección y reflexión por ejes y planos coordenados. Más adelante veremos cómo realizar las transformaciones a través de cualquier espacio vectorial.

 

Ampliación y Reducción de un Vector

 

La \(T L\) sería:

 

\[T(u)=k \bullet u, k>0 \in \mathbb{R}\]

 

Esta toma un vector y lo multiplica por un escalar. Naturalmente, si \(k<1\) se reducirá el tamaño del vector, y si \(k>1\) aumentará el tamaño del vector.

 

Como puedes ver, \(k\) está restringido a un número mayor que cero. Si \(k<0\), la transformación cambia el sentido del vector.

 

Entonces, si quisiéramos una matriz que ampliase todos los vectores de \(\mathbb{R}^{2}\) por un factor \(2\). Es decir, que doblase su tamaño:

 

\[T(x, y)=(2 x, 2 y)\]

 

Aplicando en los vectores de la base canónica:

 

\[T(1,0)=(2,0)\]

 

\[T(0,1)=(0,2)\]

 

Colocando los vectores en las columnas de una matriz:

 

\[[T]=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]\]

 

De forma general, la matriz de ampliación o reducción por un factor \(k\) en \(\mathbb{R}^{n}\) puede ser dada por:

 

\[\left[\begin{array}{ccccc}k & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & k & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & k & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & k\end{array}\right]\]

 

Reflexión de un Vector

 

¿Qué ocurre si reflejamos un vector del \(\mathbb{R}^{2}\) por el del eje \(\mathscr{Y}\)? Esta \(TL\) debe mantener inalteradas las componentes del vector en el eje \(\mathscr{Y}\), mientras se multiplica por \(-1\) las componentes del vector en el eje \(\mathscr{X}\).

 

Por ejemplo, \(T(2,3)=(-2,3)\):

 

 

Entonces, esta \(TL\) debe hacer lo siguiente:

 

\[T(x, y)=(-x, y)\]

 

Descubriendo la matriz que representa esa \(TL\):

 

\[T(1,0)=(-1,0)\]

 

\[T(0,1)=(0,1)\]

 

\[[T]=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\]

 

Por ahora solo veremos la reflexión en relación a los ejes coordenados, es decir, solo tenemos que tomar la matriz identidad y multiplicar por \(-1\) en el eje que será reflejado.

 

Una manera de comprobar si el resultado es correcto es tomar el resultado del vector reflejado y reflejarlo nuevamente; este será el vector inicial. Es decir, si \(T\) es una reflexión:

 

\[T(T(v))=v\]

 

Proyección de un Vector

 

¿Qué pasaría si quisiéramos proyectar el vector de un vector de \(\mathbb{R}^{3}\) en el plano \(\mathscr{X} \mathscr{Y}\)? Dicha matriz debe mantener inalterados las componentes del vector en el plano \(\mathscr{X} \mathscr{Y}\), mientras que lleva a cero las componentes del vector en el eje \(\mathscr{Z}\).

 

Por ejemplo, \(T(-2,1,2)=(-2,1,0)\):

 

 

Entonces, esa \(TL\) hace algo como:

 

\[T(x, y, z)=(x, y, 0)\]

 

Aplicando en la base canónica:

 

\[T(1,0,0)=(1,0,0)\]

 

\[T(0,1,0)=(0,1,0)\]

 

\[T(0,0,1)=(0,0,0)\]

 

Llegamos a la matriz:

 

\[[T]=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]

 

Cizallamiento

 

A diferencia de las transformaciones anteriores, el cizallamiento es poco común. Primero veamos qué hace:

 

 

Lo que hace es transformar el rectángulo \(O A P B\) en el paralelogramo \(O A P^{\prime} B^{\prime}\), de igual base y altura.

 

En este caso tenemos un cizallamiento en el eje \(x\), y la transformación \(T\) sería dada por:

 

\[T(x, y)=(x+k y, y)\]

 

Donde \(k \in \mathbb{R}\)

 

Ten en cuenta que cada punto \((x, y)\) se desplaza paralelamente al eje de las \(x\) hasta llegar en \((x+k y, y)\), eliminando los puntos del propio eje de las \(x\), que permanecen en su posición, ya que en el eje \(x\) tenemos \(y=0\).

 

Entonces, la matriz sería dada por:

 

\[T(1,0)=(1,0)\]

 

\[T(0,1)=(k, 1)\]

 

\[[T]=\left[\begin{array}{ll}1 & k \\ 0 & 1\end{array}\right]\]

 

En este caso, \(k\) es el factor de cizallamiento.

 

El cizallamiento a lo largo del eje \(y\) es análogo y su matriz también es dada por:

 

\[\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ k & 1\end{array}\right]\]

 

En resumen

 

Resumiendo lo que vimos, tenemos que:

 

Ampliación y reducción \(\longrightarrow\) multiplica el vector por un escalar \(k\) positivo. Si \(k<1\), tenemos una reducción; si \(k>1\), tenemos una ampliación.

 

Reflexión \(\longrightarrow\) refleje un vector en relación a un subespacio vectorial. Mantener inalteradas las componentes del vector en el subespacio en cuestión y multiplicar por \(-1\) las componentes perpendiculares a dicho subespacio.

 

Proyección \(\longrightarrow\) proyecta un vector sobre un espacio vectorial. Mantener inalteradas las componentes del vector en el subespacio en cuestión y llevar a cero las componentes perpendiculares a dicho subespacio.

 

Cizallamiento \(\longrightarrow\) transforma un paralelogramo manteniendo su base y altura.

Hay un error?