Base

Introducción

Surgen las preguntas del millón: ¿Qué es una base? ¿Que necesita un conjunto de vectores para ser una base?

La definición dice que: la base de un espacio vectorial \(V\) es un conjunto ordenado de vectores \(\beta=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\}\) que generan \(V\) y que son \(LI\).

De la definición cabe resaltar \(3\) cosas, vamos a desglosarla para entenderla mejor:

     \(\bullet\) La base tiene que generar \(V\). Es decir, si \(V\) tiene como base \(\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}\), entonces \(\left\langle v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\rangle=V\).

     \(\bullet\) La base tiene que ser \(LI\) (linealmente independientes). Por ejemplo, los vectores \((1,0,0)\), \((0,1,0)\) y \((1,1,0)\) generan el plano \(xy\) en \(R^{3}\). Pero el conjunto \(\beta=\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}\) no es \(LI\), entonces no podemos decir que \(\beta\) es una base del plano \(x y\).

Si tomamos el conjunto \(\{(1,0,0),(0,1,0)\}\), tendríamos una base del plano \(xy\), porque dicho conjunto genera el plano y es \(LI\).

     \(\bullet\) Finalmente, las bases son conjuntos ordenados. Usando el ejemplo anterior, si tenemos \(\beta=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\) y \(\gamma=\{(0,1,0),(1,0,0)\}\), quiere decir que tenemos \(2\) bases diferentes. A pesar de tener los mismos vectores, están ordenados de forma distinta, por tanto, forman bases diferentes.

Nota: podemos tener infinitas bases para un determinado espacio. Por ejemplo, para una base en \(R^{2}\), podría ser \(\{(0,1),(1,0)\},\{(2,3),(4,5)\},\left\{(47,3),\left(\pi, e^{23}\right)\right\}\), y así sucesivamente.

Bases Canónicas

Existen varios tipos de bases, entre ellas están las bases canónicas, que son las más simples posibles. 

Veamos un ejemplo:

Una posible base para \(R^{3}\) es:

\[\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\]

Decimos que la base es perfecta, porque los vectores son los del propio eje de la base canónica.

Pero no solo \(R^{n}\) tiene una bases, los conjuntos de matrices o polinomios también tienen bases. Mira:

Una base para \(M_{2 \times 2}\) es:

\[\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\right\}\]

Esta es la base canónica de las matrices \(2 \times 2\).

Otra base para las matrices \(2 \times 2\) es:

\[\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 3\end{array}\right]\right\}\]

Pero esa no es canónica.

La base canónica de \(P_{2}\) es:

\[\left\{1, x, x^{2}\right\}\]

Y otra posible base (no canónica) es:

\[\left\{1, x, x^{2}+x\right\}\]

Lo único malo es que si nos piden verificar si un conjunto es base tenemos que verificar si es \(LI\), y hacer el resto de operaciones.

Encontrando la Base de un Espacio vectorial

¿Existe alguna fórmula para encontrar la base de un espacio vectorial?

¡Pues si existe! Y si no existiera la inventamos. Veamos algunos ejemplos:

\[\textbf {Ejemplo } 1:\]

¿Cuál de los siguientes vectores, junto con los vectores \((2,1,1)\) y \((1,2,1)\), no forma una base para \(R^{3}\)?

\[(a) (1,1,2)\]

\[(b) (2,-2,0)\]

\[(c) (0,2,2)\]

\[(d) (1,0,-1)\]

Como sabemos que \(R^{3}\) tiene \(3\) dimensiones, necesitamos \(3\) vectores \(LI\) para escribir una base de dicho espacio vectorial. 

Pero como el problema nos pregunta cuál de los vectores no forma una base, tendremos que hallar aquella que forma una conjunto \(LD\) (linealmente dependiente) con los otros dos dados, porque si ellos fueran \(LD\) no tendríamos una base. Si tienes dudas sobre los conjuntos de vectores linealmente dependientes \(LD\) e independientes \(LI\), échale un vistazo al tema en Calculisto. 

Entonces, tenemos que verificar uno por uno para descubrir cuál forma un conjunto \(LD\):

\[(a)\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right] \underset{\text { escalonando }}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 / 2 & 1 / 2 \\ 0 & 0 & 4 / 3\end{array}\right]\]

El conjunto es \(L I\). Próxima letra:

\[(b)\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & -2 & 0\end{array}\right] \underset{\text { escalonando }}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 0 & 3 / 2 & 1 / 2 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]

Bien, encontramos la respuesta. El vector \((2,-2,0)\) puede ser escrito como la combinación lineal de \((2,1,1)\) y \((1,2,1)\), estos forman un conjunto \(L D\) y, por tanto, no pueden ser una base de \(R^{3}\).

Veamos otro ejemplo.

\(\text{Ejemplo } 2\)

Encuentre una base para el espacio generado por el conjunto \(\{(1,2,2,1),(1,0,2,0),(0,2,0,1)\}\) y determine su dimensión.

Tratemos de entender el problema. Tenemos \(3\) vectores de \(R^{4}\), generando un determinado subespacio de \(R^{4}\). Este subespacio tiene un tamaño máximo de \(3\).

Lo que tenemos que hacer es averiguar si ese conjunto de \(3\) vectores es una base o no. O, en otras palabras, si son \(LI\) o no. Vamos a armar una matriz y escalonar:

\[\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1\end{array}\right] \underset{\text { escalonando }}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\]

La última fila de la matriz se convirtió en cero, entonces el tercer vector puede ser escrito como la combinación lineal de los dos primeros. Una base para el espacio generado por el conjunto sería:

\[\{(1,2,2,1),(1,0,2,0)\}\]

Como la base tiene \(2\ elementos, el espacio generado tiene \(2\) dimensiones , es decir, un plano. 

¡Último ejemplo!

\(\text{Ejemplo } 3\)

Calcule la base de espacio \(W\) definido a continuación:

\[W=\{x=3 y-z\}\]

Tenemos tres coordenadas y una ecuación. Por tanto, sabemos que el espacio es un plano. Esto quiere decir que la base tendrá \(2\) elementos. El vector general es:

\[(3 y-z, y, z)=y(3,1,0)+z(-1,0,1)\]

Una posible base es \(\{(3,1,0),(-1,0,1)\}\)

¡Eso es todo amigos, no olviden seguir practicando!