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Núcleo e Imagen de una TL

Ya sabemos que es una \(T L\). En esta ocasión hablaremos sobre su Núcleo e Imagen. Primero hablaremos del núcleo.

 

Núcleo de una TL

 

¿Recuerdas cuando estudiamos funciones, donde un elemento era una raíz si igualaba la función a cero? Es decir, \(1\) es la raíz de la función \(f(x)=x-1\) porque \(f(1)=0\).

 

Es importante recordar que las raíces de la función \(f(x)\) pertenecen a su dominio. Mientras que el cero está en el codominio.

 

El núcleo de una \(TL\) es super parecido. Es el conjunto de elementos del dominio (sean vectores, matrices o polinomios) que igualan a cero la \(TL\). La definición es la siguiente:

 

 

Los generadores del núcleo siempre pertenecen al dominio de la \(TL\). Podemos ver en la definición del conjunto \(N u c(T)\) que todos los vectores de ese conjunto \(\in U\), que es el dominio de la \(TL\). 

 

Veamos un ejemplo, tenemos la siguiente \(TL\):

 

\[T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}\]

 

\[T(x, y, z)=(x-2 y+z, 2 x+y+z)\]

 

Para hallar los generadores del núcleo solo tenemos que igualar la \(TL\) al elemento nulo del codominio.

 

Cabe resaltar dos puntos importantes. El primero, es que el elemento nulo no necesariamente es cero. El segundo, es que debes igualar al vector nulo del codominio. Puesto que no tendría sentido igualar a un vector fuera del espacio que tiene la \(TL\). Continuando:

 

\[T(x, y, z)=(x-2 y+z, 2 x+y+z)=(0,0)\]

 

\[\left\{\begin{array}{l}x-2 y+z=0 \quad(I) \\ 2 x+y+z=0(I I)\end{array}\right.\]

 

De \((I)\):

 

\[z=2 y-x\]

 

Sustituyendo en \((I I)\):

 

\[2 x+y+z=0\]

 

\[2 x+y+2 y-x=0\]

 

\[x=-3 y(I I I)\]

 

\((I I I)\) en \((I)\):

 

\[x-2 y+z=0\]

 

\[-3 y-2 y+z=0\]

 

\[z=5 y\]

 

Siendo así, los generadores del núcleo son el conjunto de vectores \((x, y, z)\) que tienen \(x=-3 y\) y \(z=5 y\). Entonces serán:

 

\[(x, y, z)=(-3 y, y, 5 y)=y(-3,1,5)\]

 

Y el resultado es, \(N u c(T)={span}\{(-3,1,5)\}\) o \(N u c(T)=\langle(-3,1,5)\rangle\).

 

¿Recuerdas que los elementos del núcleo pertenecen al dominio? Ten en cuenta que el vector genérico que tenemos tiene tres coordenadas. Entonces, es \(\mathbb{R}^{3}\), que es el dominio de la \(TL\).

 

Vale la pena comentar ciertas cosas:

 

No es difícil notar que el núcleo de una  \(TL\) siempre será un espacio vectorial de su dominio (por que esta forma parte del dominio). Entonces:

 

 

 

En el ejemplo que vimos el núcleo tenía dimensión \(1\) (es el espacio generado por un único vector). Entonces, podemos decir que la nulidad de esa transformación es \(1\). La nulidad de una transformación lineal \(T\) es la dimensión de su núcleo: \(\operatorname{dim}(N u c(T))\).

 

Y no olvides que:

 



Imagen de una TL

 

Además del núcleo, existe otro espacio vectorial importante relacionado a las transformaciones: la imagen. La imagen de una transformación son todos los elementos transformados a partir del dominio de una \(TL\). 

 

Es decir, son todos los elementos del codominio que genera la \(TL\). Formalmente:

 

 

Recuerda que los elementos de la imagen siempre, SIEMPRE, pertenecen al codominio, puesto que son los elementos transformados \(T(u)\). Entonces \({Im}(T) \subset V\). 

 

¿Pero cómo hallamos la imagen? ¿Y cuáles son sus generadores?

 

Veamos el siguiente ejemplo:

 

\[T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\]

 

\[T(x, y)=(x+y, x-y, 2 x)\]

 

Primero vamos a desglosar la fórmula de la \(TL\). Tendremos:

 

\[(x+y, x-y, 2 x)=x(1,1,2)+y(1,-1,0)\]

 

Y el resultado sería, \(\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,1,2),(1-1,0)\}=\langle(1,1,2),(1,-1,0)\rangle\).

 

Si, tan simple como eso.

 

Como puedes ver, los vectores de la imagen tienen \(3\) coordenadas, y tenemos que \(\operatorname{Dom}(T)=\mathbb{R}^{2}\) y el \(C D(T)=\mathbb{R}^{3}\). Por tanto, la imagen está en el codominio.

 

Vale la pena comentar ciertas cosas:

 

La imagen de una \(T L\) siempre será un subespacio vectorial del codominio de la \(T L\). Entonces: 

 

 

El pivote de una transformación lineal \(T\) es la dimensión de su imagen \(\operatorname{dim}({Im}(T))\).

 

Nota: el término “nulidad” no se utiliza demasiado, sin embargo, el término “pivote” es más común. 

 

Por último, pero no menos importante:

 

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