Expresión Analítica de una TL

¿Cómo se construye una TL?

Al igual que con las funciones, con la ecuación de la recta o la parábola, construir una transformación lineal parte del mismo principio.

Supongo que estarás preguntando: ¿cómo hallamos su fórmula? Quizá nunca te lo preguntaste, pues la verdad es que la gente no piensa en ese tipo de cosas a seguido. Sin embargo, veamos el siguiente ejemplo:

Sea la transformación \(T\) dada por:

\[T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}\]

\[T(x, y)=(2 x-y, x-2 y, x+2 y)\]

Como podemos hallar la fórmula, tanto solo sabiendo que:

\[T(1,0)=(2,1,1)\]

\[T(1,1)=(1,-1,3)\]

Nota: siempre tenemos que tener los datos para así poder armar la \(T L\).

Paso 1: ver que los elementos dados (lo que están dentro de \(T(\ldots)\)), forman una base para el dominio. Entonces, vamos a decir que \(\beta\) es una base de \(\mathbb{R}^{2}\). 

\[\beta=\{(1,0),(1,1)\}\]

Paso 2: si \(\beta\) es una base de \(\mathbb{R}^{2}\), podemos escribir cualquier vector de \(\mathbb{R}^{2}\) como una \(CL\) de los vectores de dicha base.

\[(x, y)=a(1,0)+b(1,1)(I)\]

Paso 3: pero no queremos hallar \((x, y)\) sino a \(T(x, y)\), porque nos proporciona la fórmula. Entonces, vamos a aplicar \(T\) en ambos lados:

\[T(x, y)=T(a(1,0)+b(1,1))\]

Como \(T\) es lineal, podemos separar esa suma:

\[T(x, y)=T(a(1,0))+T(b(1,1))\]

Y también es posible eliminar el escalar real.

\[T(x, y)=a T(1,0)+b T(1,1)\]

Paso 4: ¡Ahhh, ahora es más fácil! Porque sabemos cuánto vale \(T(1,0)\) y \(T(1,1)\). Aplicando los datos del enunciado:

\[T(x, y)=a(2,1,1)+b(1,-1,3)(I I)\]

Paso 5: como puedes ver, la fórmula de la transformación lineal no está lista todavía. Debemos hallar \(a\) y \(b\). Para ello, volvamos a la ecuación \(I\):

\[(x, y)=a(1,0)+b(1,1)\]

Con esta ecuación podemos hallar cuánto valen \(a\) y \(b\) en función de \(x\) y \(y\). Desarrollando la ecuación:

\[(x, y)=(a+b, b) \therefore\]

\[\left\{\begin{array}{c}x=a+b \Rightarrow a=x-y \\ y=b \Rightarrow b=y\end{array}\right.\]

Paso 6: volviendo a la ecuación \(II\)

\[T(x, y)=(x-y)(2,1,1)+y(1,-1,3) \Rightarrow\]

\[T(x, y)=(2 x-2 y+y, x-y-y, x-y+3 y) \Rightarrow\]

\[T(x, y)=(2 x-y, x-2 y, x+2 y)\]

Ten en cuenta que solo pudimos hacerlo porque teníamos la imagen de los vectores de una base del dominio (recuerda que existen varias bases para un conjunto). O mejor dicho, sabíamos quién era \(T\) aplicado en cada uno de los vectores de la base del dominio. 

Sin esos datos es imposible construir una \(TL\).

En resúmen:

     \(1.\) Armar una base para el dominio: los que están dentro de \(T\) \((\underbrace{\cdots}_{\text {este de aqui }})=\ldots\)

     \(2.\) Hacer una \(CL\) de un vector genérico del dominio con los vectores de la base formada.

     \(3.\) Aplicar \(T\) en ambos lados. Y usar el hecho de que \(T\) es lineal para “abrir” la \(CL\) de la base formada, hasta llegar a los términos que tenemos como datos.

     \(4.\) Usar los datos dados por el problema: por ejemplo, \(T(1,0)=(2,1,1)\).

     \(5.\) Todavía tenemos que escribir las coordenadas del vector genérico en la base elegida, en función de las coordenadas del propio vector genérico \((x, y \ldots, w)\) y sustituir en \(T\).

     \(6.\) Ahora tendremos la imagen de un vector genérico en función de los vectores que pertenecen al codominio, es decir, la expresión de \(T\).

¡Ten en cuenta que con estos datos hallaremos una sola expresión para la transformación! Por tanto, si tenemos la base para el dominio, y \(T\) aplicado en cada uno de los vectores de la base, solo tendremos una transformación que lo satifaga.

Nota: no definimos una base para el codominio, solo para el dominio.