TL Compuesta

Introducción

En esta ocasión hablaremos sobre las transformaciones lineales compuestas. Sin embargo, primero veremos qué es la composición de funciones: 

Por ejemplo, imagina que \(f(x)=x^{2}\) y \(g(x)=x+3\), entonces:

\[(g \circ f)(x)=g(f(x))\]

\[(g \circ f)(x)=g\left(x^{2}\right)\]

\[(g \circ f)(x)=x^{2}+3\]

¿Entendiste? 

Entonces, como las transformaciones lineales también son funciones, podemos hacer una composición de estas con otras transformaciones. 

Por tanto, la definición anterior también aplica para las transformaciones lineales.

Pero aquí surge una pregunta importante… 

¿Será que si comparamos dos \(T L^{\prime} s\), la compuesta generada a partir de estas sigue siendo lineal?

¡Y la respuesta es… SI! Mira el teorema:

En primer lugar, es importante recordar que una transformación lineal es un tipo de función particular entre dos espacios vectoriales, que conserva las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar.

Bueno, lo primero que debes notar es que el codominio de la \(T L\) que está adentro tiene que ser igual al dominio de afuera.

Si tienes \(T: U \rightarrow V\) y \(S: V \rightarrow W\). La \(T L\) compuesta debe ser \(S(T(u))\). La transformación \(T\) convertirá el vector \(u \in U\) en un vector \(v \in V\). La transformación \(S\), convertirá el vector \(v \in V\) en un vector \(w \in W\). Así, tendremos la \(S \circ T\):

Si el codominio de \(T\) fuera distinto al dominio de \(S\) estaría mal.

Genial, pero…¿cómo lo hacemos en la práctica? Tomemos, por ejemplo, las transformaciones a continuación:

\[T: R^{2} \longrightarrow R^{3}\]

\[T(x, y)=(2 y, x+y, x-y)\]

\[S: R^{3} \longrightarrow R^{2}\]

\[S(x, y, z)=(x+y+z, 2 y-x)\]

Como el codominio de \(T\) es igual a dominio de \(S\), podemos componer las dos aplicando el resultado de la transformación \(T\) en \(S\):

\[S(T(x, y))=S(2 y, x+y, x-y)=(2 y+x+y+x-y, 2(x+y)-2 y)\]

Calculando, tenemos que:

\[S \circ T: R^{2} \longrightarrow R^{2}\]

\[(S \circ T)(x, y)=(2 y+2 x, 2 x)\]

Y así tenemos la transformación compuesta.

Existe otra forma de hallar la \(TL\) compuesta, a partir de las matrices que representan las transformaciones.

Matriz que Representa una \(TL\) Compuesta

Supongamos que el enunciado del problema, en lugar de darnos las transformaciones junto con sus expresiones analíticas, nos den las matrices que las representan.

\[T(x, y)=\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\]

\[S(x, y, z)=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]\]

Ahora solo tenemos que multiplicar las dos matrices. Pero cuidado, el orden de multiplicación es sumamente importante. 

Si queremos hacer \(S \circ T\) la matriz que representa la transformación será \(ST\). Porque la multiplicación de matrices será:

\[[S \circ T](x, y)=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\]

El vector \((x, y)\) es aplicado en la matriz de la transformación \(T\) y su resultado será aplicado en la matriz \(S\). Esto es lo que hacemos cuando usamos expresiones analíticas, por tanto, el orden de multiplicación no puede ser alterado. 

Entonces, multiplicando \(S\) y \(T\), la matriz \([S \circ T]\) será:

\[[S \circ T](x, y)=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\]

\[[S \circ T](x, y)=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\]

¿Ves? Es sencillo, solo basta con conocer las matrices de cada transformación. La fórmula de la composición aplicada en las coordenadas de un vector, será:

\[[T \circ S(u)]_{\xi}=[T \circ S]_{\xi \leftarrow \beta} \bullet[u]_{\beta} \Rightarrow\]

\[[T \circ S(u)]_{\xi}=[T]_{\xi \leftarrow \gamma} \bullet[S]_{\gamma \leftarrow \beta} \bullet[u]_{\beta}\]

Siendo \(\beta\) la base del dominio y \(\xi\) la del codominio.

¡Eso es todo amigos, sigamos practicando en la sección de ejercicios!