Dimensión

¡Bienvenidos, espero que estén genial!

Para tener una “dimensión” ( 😉 ) del tema veamos el siguiente conjunto:

\[V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(2,2,0)+d(1,5,0)\right\}\]

A simple vista podemos ver que el conjunto tiene muchos generadores. Podemos ver que los dos últimos son \(C L\) de los demás. Podríamos restringir los generadores sólo a los vectores

\[(1,0,0) \text { y }(0,1,0)\]

Podemos definir estos \(2\) vectores como una base para el conjunto \(V\). 

Podrías haber notado que hay “demasiados” vectores en el conjunto, si esos \(4\) vectores fueran \(LI\), tendríamos un espacio generado por \(4\) vectores. 

Pero pertenecen a \(\mathbb{R}^{3}\), que es generado por \(3\) vectores. Y no podemos tener un espacio generado “mayor” que el propio espacio en el que los vectores generadores están contenidos. No tendría sentido.

Vamos a formalizar la definición de “tamaño”:

Nota: también podemos entender que la dimensión de un conjunto o espacio generado es igual al número de vectores \(LI\) que generan ese espacio o conjunto. 

Notación: \(\operatorname{dim}(V)=k\)

Por ejemplo, \(\mathbb{R}^{4}\) está formado por \(4\) vectores \(LI\), entonces tienen dimensión \(4\).

El conjunto de las matrices \(2 \times 2\), tiene dimensión \(4\), porque:

\[\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\]

Y la dimensión de \(P_{2}\), polinomios de un máximo de \(2do\) grado es:

\[a(1)+b(x)+c\left(x^{2}\right)\]

Lo que quiere decir es:

“No podemos tener un espacio generado con una dimensión mayor que la del propio espacio en el espacio generado está contenido”

En este caso, tenemos \(4\) vectores generadores de \(\mathbb{R}^{3}\). Como la dimensión de \(\mathbb{R}^{3}\) es \(3\), entonces la dimensión máxima de cualquier conjunto contenido en \(\mathbb{R}^{3}\) es \(3\).

En el ejemplo anterior vimos que \(\operatorname{dim}(V)=2\), porque tiene dos generadores \(L I\) y, por tanto, se trata de un plano. Es importante saber que:

     \(\bullet\) La dimensión de un plano siempre es igual a \(2\), porque siempre tiene \(2\) generadores \(LI\).

     \(\bullet\) La dimensión de una recta siempre es igual a \(1\), porque siempre tiene \(1\) generador \(LI\). 

Polinomios 

Tengo una pregunta para tí. ¿El siguiente conjunto es una base de \(\mathbb{R}^{2}\)?

\[\beta=\{(1,0,0),(0,1,0)\}\]

¡Si dijiste que si, caíste en una de las trampas del álgebra! Pero no te preocupes, le pasa a muchísima gente, sobretodo cuando están aprendiendo. 

De hecho, el conjunto es una base del plano \(x y\) en \(\mathbb{R}^{3}\). El problema es que el plano \(x y\) en \(\mathbb{R}^{3}\) y \(\mathbb{R}^{2}\) no son lo mismo. Esto porque \(\mathbb{R}^{2}\) contiene vectores con DOS coordenadas. Entonces, el conjunto \(\beta\) NUNCA podría generar \(\mathbb{R}^{2}\) porque tiene vectores de \(3\) coordenadas.

En general esto sucede porque \(\mathbb{R}^{n} \not \subset \mathbb{R}^{m}\), para \(n<m\). Es decir, en este caso \(\mathbb{R}^{3}\) no contiene a \(\mathbb{R}^{2}\), entonces un conjunto de vectores de \(\mathbb{R}^{3}\) nunca podría generar \(\mathbb{R}^{2}\)

¡Y listo! Siguiente pregunta:

\[¿P_{1} \subset P_{2} ?\]

¿Qué piensan? \(¿P_{1}\) está contenido en \(P_{2} ?\) Bueno, eso es más que obvio, es cómo \(\mathbb{R}^{2}\) y \(\mathbb{R}^{3}\), ¿no? Pues no, estás equivocado. Los vectores de \(3\) coordenadas no pueden generar vectores de \(2\) coordenadas. Entonces, nunca una base de \(\mathbb{R}^{3}\) va a generar \(\mathbb{R}^{2}\). Pero en el caso de los polinomios esto no siempre es correcto.

Si tenemos una base para \(P_{2}\), esta puede generar polinomios de \(P_{1}\) (a pesar de que una base de \(P_{2}\) no es una base de \(P_{1}\)). Mira el espacio generado de \(\left\{1, x, x^{2}\right\}\):

\[a+b x+c x^{2}\]

Si llevamos a cero la tercera coordenada, tan solo tendremos:

\[a+b x\]

Que son todos polinomios de grado máximo \(1\). Por tanto, un espacio de menor grado siempre estará contenido en el de mayor grado en el caso de los polinomios.

Esa diferencia ocurre porque \(\mathbb{R}^{n}\) está formado por todos los vectores de \(n\) coordenadas. Mientras que \(P_{n}\) está formado por todos los polinomios de grado ìgual o menor que \(n\). El “menor” en la definición es lo que cambia el razonamiento. 

En resúmen:

\(P_{n} \subset P_{m},\) para \(n \leq m\)

\(\mathbb{R}^{n} \not \subset \mathbb{R}^{m},\) para \(n<m\)

Nota: ten en cuenta que \(n=m\), es verdad, porque cada conjunto es un subconjunto de sí mismo.

¡Eso es todo, vamos a los ejercicios!