Teorema Núcleo-Imagen

En esta ocasión hablaremos sobre el Teorema Fundamental del Álgebra Lineal.

¿Y qué dice ese teorema todopoderoso? Relaciona las dimensiones del núcleo e imagen con la dimensión del dominio de una \(T L\). Lo que dice es lo siguiente:

Es decir, la suma de las dimensiones del núcleo y de la imagen de una transformación lineal es exactamente la dimensión de su dominio (si, al igual que en las matrices). 

Además de por supuesto, facilitar MUCHO el trabajo para encontrar el tamaño del núcleo o la imagen de una \(T L\). Este teorema cuenta con implicaciones super interesantes.

Por ejemplo, recuerda que:

Si las dimensiones del dominio y codominio de una \(TL\) son iguales, entonces tenemos que es inyectiva si es sobreyectiva y viceversa.

Sea \(T: V \rightarrow V\) lineal, entonces si \(T\) es inyectiva, tenemos que \(\operatorname{dim}(N u c(T))=0\). Por el TN-I, tenemos que \(\operatorname{dim}(\operatorname{Im}(T))=\operatorname{dim}(V)-\underbrace{\operatorname{dim}(N u c(T))}_{0}=\operatorname{dim}(V)\). Si la dimensión de la imagen es igual a la del codominio, entonces es sobreyectiva. 

¡La inversa también es válida!