Coordenada

Introducción

¿Recuerdas que la definición de base dice que el conjunto debe ser ordenado? De eso hablaremos en esta ocasión. Si, por ejemplo, tenemos una base \(\beta\):

\[\beta=\{(1,0,1),(0,0,1),(0,1,0)\}\]

Sabemos que esa es una posible base de \(\mathbb{R}^{3}\), entonces cualquier vector de \(\mathbb{R}^{3}\) puede ser escrito como la combinación lineal de esos vectores. Por ejemplo, si tomamos el vector:

\((2,1,3)\)

Vamos a escribirlo como una combinación lineal de los vectores de la base:

\[(2,1,3)=a(1,0,1)+b(0,0,1)+c(0,1,0)\]

\[(2,1,3)=(a, c, a+b) \Rightarrow\]

\[\left\{\begin{array}{l} \quad\quad{a=2}\\ \quad\quad{c=1} \\ a+b=3 \Rightarrow b=1\end{array}\right.\]

Entonces, si queremos generar el vector \((2,1,3)\) con esa base, tenemos que usar los vectores que descubrimos:

\[(2,1,3)=2(1,0,1)+1(0,0,1)+1(0,1,0)\]

Cuando resolvemos el sistema, hallamos una solución para cada coeficiente. Por tanto, podemos ver que solo existe una única opción de coeficiente para la base, que generan un solo vector. 

NOTA: algo que sucede con frecuencia en los exámenes es la igualdad de vectores en bases diferentes.

     \(1.\) El mismo vector puede tener representaciones iguales o diferentes en bases distintas. 

     \(2.\) Dos vectores diferentes pueden tener la misma representación en bases distintas. Así como pueden no tener 🤷🏻‍♂️

     \(3.\) Dos vectores distintos nunca tendrán la misma representación en una misma base.

¡Ahora que sabemos todo eso, vamos a aprender a escribir un vector en las coordenadas de una base!

Escribiendo un vector en las coordenadas de una base

A partir de esa notación, el vector \(u\) es “el primer elemento de la matriz columna multiplicado por el primer vector de la base; sumado al segundo elemento de dicha columna, multiplicado por el segundo vector de la base, y así sucesivamente”. 

Es decir…

\[u=a_{1} u_{1}+\ldots+a_{k} u_{k}\]

Nota: es por eso que las bases son conjuntos ordenados. En el ejemplo anterior, las coordenadas \(v=(2,1,3)\) en la base \(\beta\) son:

\[[v]_{\beta}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]\]

Pero si, por ejemplo, definimos otra base \(\alpha\) con los mismos vectores, pero con un orden distinto:

\[\alpha=\{(0,0,1),(1,0,1),(0,1,0)\}\]

Las coordenadas de \(v\) en la base \(\alpha\) ahora serán:

\[[v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]\]

Y si escogemos esta base:

\[\varepsilon=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}\]

Entonces:

\[(2,1,3)=2(1,0,0)+1(0,1,0)+3(0,0,1)\]

\[[v]_{\varepsilon}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 3\end{array}\right]\]

Podemos ver que los coeficientes de la base son EXACTAMENTE las coordenadas del vector. Lo mismo ocurrió con el primer vector, pero en ese caso no teníamos que calcular nada. 

Esto se debe a que decimos que la base \(\varepsilon\) es canónica. Cuando un espacio vectorial está formado por una base canónica, los coeficientes de esa base son las mismas coordenadas del elemento. Esto ocurre con vectores, matrices y polinomios. 

Normalmente las bases canónicas son denotadas por la letra griega epsilon (\(\varepsilon\)). A continuación algunos ejemplos:

De \(\mathbb{R}^{4}\):

\[\varepsilon=\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}\]

Del conjunto \(M_{2 \times 2}\) de las matrices \(2 \times 2\):

\[\varepsilon=\left\{\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\right\}\]

De los polinomios de \(P_{3}\):

\[\varepsilon=\left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\}\]

Nota: si tenemos un vector escrito en alguna base dada, podemos hallar el vector escrito en la base canónica simplemente aplicándolo a la base. Por ejemplo:

\[[v]_{\beta}=(4,1,3), \beta=\{(2,0,1),(1,3,0),(0,1,1)\}\]

\[v=4(2,0,1)+1(1,3,0)+3(0,1,1)=(8,0,4)+(1,3,0)+(0,3,3)=(9,6,7)\]

¡Tanto simple como eso!

También es importante saber que cuando escribimos un vector ya perteneciente a la base en las coordenadas de dicha base tendremos lo siguiente:

\[\beta=\{(1,0,2),(0,0,1),(0,1,0)\}\]

Si intentamos escribir el vector \((1,0,2)\) en las coordenadas de la base \(\beta\), tendremos:

\[(1,0,2)=a(1,0,2)+b(0,0,1)+c(0,1,0) \Rightarrow\]

\[\left\{\begin{array}{l} \qquad \qquad \qquad{1=a}\\\qquad \qquad \qquad{0=c} \\ 2=2 a+b \Rightarrow 2=2+b \Rightarrow b=0\end{array}\right.\]

Como puedes ver, la primera coordenada es \(1\) y el resto \(0\). ¿Por qué? Porque el vector que escogimos era el primer vector de la base \(\beta\). Si fuera el segundo hubiéramos encontrado que \(a=c=0\) y \(b=1\). 

De ese modo, si tenemos una base \(\beta=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}\).

Entonces:

\[\left[v_{1}\right]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right]\]

\[\vdots\]

\[\left[v_{n}\right]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1\end{array}\right]\]

¡Y aquí acaba, vamos a la sección de ejercicios a practicar!